ГДЗ: Упражнение 840 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \).
Используем правило суммы/разности и формулы производных: \( (e^{kx})' = k e^{kx} \), \( (c)' = 0 \), \( (c \ln x)' = \frac{c}{x} \).

• \( f'(x) = (e^{2x})' - (4)' + (2 \ln x)' \)
• \( f'(x) = 2e^{2x} - 0 + 2 \cdot \frac{1}{x} \)
• \( f'(x) = 2e^{2x} + \frac{2}{x} \)

Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = 2 \).
Подставляем \( x=2 \) в выражение для \( f'(x) \):

• \( f'(2) = 2e^{2 \cdot 2} + \frac{2}{2} \)
• \( f'(2) = 2e^4 + 1 \)

Ответ: \( 2e^4 + 1 \)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \).
Используем правило разности, формулу \( (e^{kx})' = k e^{kx} \) и цепное правило для логарифма: \( (c \ln(kx+b))' = c \frac{k}{kx+b} \).

• \( f'(x) = (e^{2x})' - (3 \ln (2x-1))' \)
• \( f'(x) = 2e^{2x} - 3 \cdot \frac{(2x-1)'}{2x-1} \)
• \( f'(x) = 2e^{2x} - 3 \cdot \frac{2}{2x-1} = 2e^{2x} - \frac{6}{2x-1} \)

Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = \frac{2}{3} \).
Подставляем \( x=\frac{2}{3} \) в выражение для \( f'(x) \):

• \( f'\left(\frac{2}{3}\right) = 2e^{2 \cdot \frac{2}{3}} - \frac{6}{2 \cdot \frac{2}{3} - 1} \)
• \( f'\left(\frac{2}{3}\right) = 2e^{\frac{4}{3}} - \frac{6}{\frac{4}{3} - 1} = 2e^{\frac{4}{3}} - \frac{6}{\frac{4-3}{3}} \)
• \( f'\left(\frac{2}{3}\right) = 2e^{\frac{4}{3}} - \frac{6}{\frac{1}{3}} = 2e^{\frac{4}{3}} - 6 \cdot 3 \)
• \( f'\left(\frac{2}{3}\right) = 2e^{\frac{4}{3}} - 18 \)

Ответ: \( 2e^{4/3} - 18 \)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \).
Используем правило разности, формулу \( (a^{kx})' = a^{kx} \ln a \cdot k \) и \( (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \).

• \( f'(x) = (2^{2x})' - (\log_2 x)' \)
• \( f'(x) = 2^{2x} \ln 2 \cdot 2 - \frac{1}{x \ln 2} \)
• \( f'(x) = 2 \ln 2 \cdot 2^{2x} - \frac{1}{x \ln 2} \)

Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = 1 \).
Подставляем \( x=1 \) в выражение для \( f'(x) \):

• \( f'(1) = 2 \ln 2 \cdot 2^{2 \cdot 1} - \frac{1}{1 \cdot \ln 2} \)
• \( f'(1) = 2 \ln 2 \cdot 4 - \frac{1}{\ln 2} \)
• \( f'(1) = 8 \ln 2 - \frac{1}{\ln 2} \)

Ответ: \( 8 \ln 2 - \frac{1}{\ln 2} \)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \).
Используем правило разности и формулы \( (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \) и \( (cx)' = c \).

• \( f'(x) = (\log_{0.5} x)' - (3x)' \)
• \( f'(x) = \frac{1}{x \ln 0.5} - 3 \)

Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке \( x_0 = 1 \).
Подставляем \( x=1 \) в выражение для \( f'(x) \):

• \( f'(1) = \frac{1}{1 \cdot \ln 0.5} - 3 \)
• \( f'(1) = \frac{1}{\ln 0.5} - 3 \)

Ответ: \( \frac{1}{\ln 0.5} - 3 \)