ГДЗ: Упражнение 843 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
\( f(x) = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} + \ln (2x+3) - \ln x \).

Шаг 2: Находим производную \( f'(x) \) с помощью правила суммы/разности и цепного правила:
\( f'(x) = \left( \frac{2}{3}x \right)' - \left( \frac{1}{3} \right)' + (\ln (2x+3))' - (\ln x)' \)

• \( \left( \frac{2}{3}x \right)' = \frac{2}{3} \).
• \( \left( \frac{1}{3} \right)' = 0 \).
• \( (\ln (2x+3))' = \frac{(2x+3)'}{2x+3} = \frac{2}{2x+3} \).
• \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \).

Шаг 3: Собираем результат:
\( f'(x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{2x+3} - \frac{1}{x} \).

Ответ: \( \frac{2}{3} + \frac{2}{2x+3} - \frac{1}{x} \)

Шаг 1: Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
\( f(x) = \frac{1}{6} - \frac{1}{6}x - 2 (\ln (2-5x) - \ln 3) \)
\( f(x) = \frac{1}{6} - \frac{1}{6}x - 2 \ln (2-5x) + 2 \ln 3 \).

Шаг 2: Находим производную \( f'(x) \). Помним, что \( \frac{1}{6} \) и \( 2 \ln 3 \) — константы.
\( f'(x) = \left( \frac{1}{6} \right)' - \left( \frac{1}{6}x \right)' - (2 \ln (2-5x))' + (2 \ln 3)' \)

• \( \left( \frac{1}{6} \right)' = 0 \).
• \( \left( \frac{1}{6}x \right)' = \frac{1}{6} \).
• \( (2 \ln (2-5x))' = 2 \cdot \frac{(2-5x)'}{2-5x} = 2 \cdot \frac{-5}{2-5x} = \frac{-10}{2-5x} \).
• \( (2 \ln 3)' = 0 \).

Шаг 3: Собираем результат:
\( f'(x) = 0 - \frac{1}{6} - \left( \frac{-10}{2-5x} \right) + 0 = -\frac{1}{6} + \frac{10}{2-5x} \).

Ответ: \( -\frac{1}{6} + \frac{10}{2-5x} \)