ГДЗ: Упражнение 841 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \):
\( f'(x) = (x)' - (\cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x \).

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
\( f'(x) = 0 \implies 1 + \sin x = 0 \)
\( \sin x = -1 \)

Шаг 3: Находим общую формулу для корней:
Уравнение \( \sin x = -1 \) имеет решения вида:
\( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \).
Перепишем: \( f(x) = x^{-1} - \sin x \).
\( f'(x) = (x^{-1})' - (\sin x)' = -1 x^{-2} - \cos x = -\frac{1}{x^2} - \cos x \).

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
\( f'(x) = 0 \implies -\frac{1}{x^2} - \cos x = 0 \)
\( \cos x = -\frac{1}{x^2} \)

Шаг 3: Анализируем уравнение.
Поскольку \( x^2 > 0 \), то \( -\frac{1}{x^2} < 0 \).
Уравнение \( \cos x = -\frac{1}{x^2} \) является трансцендентным и не имеет простого аналитического решения. Оно решается численными методами. Однако, можем заметить, что так как \( x^2 \ge 0 \), то \( -\frac{1}{x^2} \le 0 \). Поскольку \( |\cos x| \le 1 \) и \( 0 < x^2 \), то \( -1 \le -\frac{1}{x^2} < 0 \). Решения существуют, когда \( \cos x \) находится в диапазоне \( [-1, -\frac{1}{x^2}) \).

Ответ: Решение является корнем трансцендентного уравнения \( \cos x = -\frac{1}{x^2} \). Требуется численный метод. В рамках школьного курса достаточно указать уравнение.

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \).
Используем правило разности и цепное правило для логарифма:
\( f'(x) = (2 \ln (x+3))' - (x)' = 2 \cdot \frac{(x+3)'}{x+3} - 1 = 2 \cdot \frac{1}{x+3} - 1 = \frac{2}{x+3} - 1 \).

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение. Область определения функции: \( x+3 > 0 \implies x > -3 \).
\( f'(x) = 0 \implies \frac{2}{x+3} - 1 = 0 \)
\( \frac{2}{x+3} = 1 \)
\( 2 = x+3 \)
\( x = 2 - 3 \)
\( x = -1 \).

Шаг 3: Проверяем, входит ли корень в область определения. \( -1 > -3 \). Входит.

Ответ: \( x = -1 \)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \).
Используем правило суммы и цепное правило для логарифма:
\( f'(x) = (\ln (1 - 2x))' + (2x)' = \frac{(1-2x)'}{1-2x} + 2 = \frac{-2}{1-2x} + 2 \).

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение. Область определения функции: \( 1-2x > 0 \implies 2x < 1 \implies x < \frac{1}{2} \).
\( f'(x) = 0 \implies \frac{-2}{1-2x} + 2 = 0 \)
\( 2 = \frac{2}{1-2x} \)
\( 1 = \frac{1}{1-2x} \)
\( 1-2x = 1 \)
\( -2x = 0 \)
\( x = 0 \).

Шаг 3: Проверяем, входит ли корень в область определения. \( 0 < \frac{1}{2} \). Входит.

Ответ: \( x = 0 \)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \).
Используем правило суммы/разности и формулы производных:
\( f'(x) = (x^2)' + (2x)' - (12 \ln x)' = 2x + 2 - 12 \cdot \frac{1}{x} = 2x + 2 - \frac{12}{x} \).

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение. Область определения функции: \( x > 0 \).
\( f'(x) = 0 \implies 2x + 2 - \frac{12}{x} = 0 \)
Умножим на \( x \) (так как \( x \neq 0 \)):
\( 2x^2 + 2x - 12 = 0 \)
Разделим на 2:
\( x^2 + x - 6 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант:
\( x_1 = -3 \), \( x_2 = 2 \).

Шаг 4: Проверяем условие \( x > 0 \). Корень \( x_1 = -3 \) не подходит, корень \( x_2 = 2 \) подходит.

Ответ: \( x = 2 \)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \).
\( f'(x) = (x^2)' - (6x)' - (8 \ln x)' = 2x - 6 - 8 \cdot \frac{1}{x} = 2x - 6 - \frac{8}{x} \).

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение. Область определения функции: \( x > 0 \).
\( f'(x) = 0 \implies 2x - 6 - \frac{8}{x} = 0 \)
Умножим на \( x \) (так как \( x \neq 0 \)):
\( 2x^2 - 6x - 8 = 0 \)
Разделим на 2:
\( x^2 - 3x - 4 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:
\( x_1 = 4 \), \( x_2 = -1 \).

Шаг 4: Проверяем условие \( x > 0 \). Корень \( x_2 = -1 \) не подходит, корень \( x_1 = 4 \) подходит.

Ответ: \( x = 4 \)