ГДЗ: Упражнение 852 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \):
\( f'(x) = 5 ((\sin x)' - (\cos x)') + \sqrt{2} (\cos 5x)' \)

• \( (\sin x)' - (\cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x \).
• \( (\cos 5x)' = -\sin 5x \cdot (5x)' = -5 \sin 5x \).

Шаг 2: Собираем производную:
\( f'(x) = 5 (\cos x + \sin x) + \sqrt{2} (-5 \sin 5x) = 5 \cos x + 5 \sin x - 5\sqrt{2} \sin 5x \).

Шаг 3: Приравниваем производную к нулю:
\( 5 \cos x + 5 \sin x - 5\sqrt{2} \sin 5x = 0 \)
Разделим на 5:
\( \cos x + \sin x - \sqrt{2} \sin 5x = 0 \)

Шаг 4: Преобразуем сумму синуса и косинуса:
\( \cos x + \sin x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) = \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \).
Уравнение принимает вид:
\( \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin 5x \)
\( \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \sin 5x \)

Шаг 5: Используем формулу приведения \( \sin \alpha = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \):
\( \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - 5x \right) \)

Шаг 6: Решаем тригонометрическое уравнение \( \cos A = \cos B \implies A = \pm B + 2\pi k \).

• Случай 1: \( x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - 5x + 2\pi k \)
  \( 6x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \)
  \( x = \frac{3\pi}{24} + \frac{2\pi k}{6} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Случай 2: \( x - \frac{\pi}{4} = -\left( \frac{\pi}{2} - 5x \right) + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi k \)
  \( -4x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \)
  \( x = \frac{\pi}{16} - \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi}{16} - \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{3} \) и \( x = \frac{\pi}{16} - \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \):
\( f'(x) = (1)' - 5 (\cos 2x)' + 2 (\sin x - \cos x)' - (2x)' \)

• \( (1)' = 0 \).
• \( (\cos 2x)' = -\sin 2x \cdot 2 = -2 \sin 2x \).
• \( (\sin x - \cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x \).
• \( (2x)' = 2 \).

Шаг 2: Собираем производную:
\( f'(x) = 0 - 5(-2 \sin 2x) + 2(\cos x + \sin x) - 2 \)
\( f'(x) = 10 \sin 2x + 2 \cos x + 2 \sin x - 2 \).

Шаг 3: Приравниваем производную к нулю:
\( 10 \sin 2x + 2 \cos x + 2 \sin x - 2 = 0 \)

Шаг 4: Используем формулу \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \) и делим на 2:
\( 5 (2 \sin x \cos x) + \cos x + \sin x - 1 = 0 \)
\( 10 \sin x \cos x + \sin x + \cos x - 1 = 0 \)

Шаг 5: Введем замену \( t = \sin x + \cos x \). Тогда \( t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 + 2 \sin x \cos x \).
Отсюда \( 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 \), и \( 10 \sin x \cos x = 5(t^2 - 1) \).
Уравнение принимает вид:
\( 5(t^2 - 1) + t - 1 = 0 \)
\( 5t^2 - 5 + t - 1 = 0 \)
\( 5t^2 + t - 6 = 0 \)

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение для \( t \). Дискриминант \( D = 1^2 - 4(5)(-6) = 1 + 120 = 121 \).
\( t_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 + 11}{10} = \frac{10}{10} = 1 \).
\( t_2 = \frac{-1 - 11}{10} = -\frac{12}{10} = -1.2 \).

Шаг 7: Возвращаемся к замене \( \sin x + \cos x = t \). Используем преобразование: \( \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = t \).

• Случай I: \( t = 1 \)
  \( \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1 \)
  \( \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
  \( x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
  \( x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Случай II: \( t = -1.2 \)
  \( \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -1.2 \)
  \( \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{1.2}{\sqrt{2}} \approx -0.8485 \).
  Так как \( |-0.8485| \le 1 \), решения существуют:
  \( x + \frac{\pi}{4} = \arcsin \left( -\frac{1.2}{\sqrt{2}} \right) + 2\pi k \)
  \( x + \frac{\pi}{4} = \pi - \arcsin \left( -\frac{1.2}{\sqrt{2}} \right) + 2\pi k \)
  \( x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin \left( -\frac{1.2}{\sqrt{2}} \right) + \pi n \) (если не требуется общее решение).
  Для развернутого решения:
  \( x_3 = -\frac{\pi}{4} + \arcsin \left( -\frac{1.2}{\sqrt{2}} \right) + 2\pi k \)
  \( x_4 = -\frac{\pi}{4} + \pi - \arcsin \left( -\frac{1.2}{\sqrt{2}} \right) + 2\pi k \)

Ответ: \( x = 2\pi k \), \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \) и корни уравнения \( \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{1.2}{\sqrt{2}} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).