ГДЗ: Упражнение 853 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \). Область определения: \( 2x - 1 > 0 \implies x > \frac{1}{2} \).
Используем правило произведения \( (u v)' = u'v + u v' \), где \( u = e^{2x} \) и \( v = \ln (2x-1) \).

• \( u' = (e^{2x})' = 2 e^{2x} \).
• \( v' = (\ln (2x-1))' = \frac{(2x-1)'}{2x-1} = \frac{2}{2x-1} \).
• \( f'(x) = 2 e^{2x} \ln (2x-1) + e^{2x} \frac{2}{2x-1} = 2 e^{2x} \left( \ln (2x-1) + \frac{1}{2x-1} \right) \).

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю:
\( f'(x) = 0 \implies 2 e^{2x} \left( \ln (2x-1) + \frac{1}{2x-1} \right) = 0 \).
Так как \( 2 e^{2x} \neq 0 \), то:
\( \ln (2x-1) + \frac{1}{2x-1} = 0 \).

Шаг 3: Решаем трансцендентное уравнение. Введем замену \( y = 2x-1 \). Так как \( x > \frac{1}{2} \), то \( y > 0 \).
\( \ln y + \frac{1}{y} = 0 \).
Рассмотрим функцию \( g(y) = \ln y + \frac{1}{y} \) при \( y > 0 \). Найдем ее производную:
\( g'(y) = \frac{1}{y} - \frac{1}{y^2} = \frac{y-1}{y^2} \).
Критическая точка: \( g'(y) = 0 \implies y-1 = 0 \implies y = 1 \).
При \( y=1 \) функция \( g(y) \) имеет локальный минимум:
\( g(1) = \ln 1 + \frac{1}{1} = 0 + 1 = 1 \).
Поскольку минимальное значение функции \( g(y) \) равно 1, то \( g(y) \ge 1 > 0 \) для всех \( y > 0 \).
Уравнение \( \ln (2x-1) + \frac{1}{2x-1} = 0 \) не имеет решений.

Ответ: Производная функции никогда не равна 0. Нет таких точек \( x \).

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \). Область определения: \( x > 0 \) и \( \sin x \neq 0 \) (то есть \( x \neq \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \) и \( k \ge 1 \)).
Используем правило частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - u v'}{v^2} \), где \( u = \ln x \) и \( v = \sin x \).

• \( u' = (\ln x)' = \frac{1}{x} \).
• \( v' = (\sin x)' = \cos x \).
• \( f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \sin x - \ln x \cos x}{\sin^2 x} \).

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю:
\( f'(x) = 0 \implies \frac{\frac{1}{x} \sin x - \ln x \cos x}{\sin^2 x} = 0 \).
Числитель должен быть равен нулю:
\( \frac{1}{x} \sin x - \ln x \cos x = 0 \).

Шаг 3: Преобразуем уравнение:
\( \frac{1}{x} \sin x = \ln x \cos x \)
Разделим на \( \cos x \) и умножим на \( x \) (при условии \( \cos x \neq 0 \)):
\( \frac{\sin x}{\cos x} = x \ln x \)
\( \operatorname{tg} x = x \ln x \).

Шаг 4: Решение трансцендентного уравнения.
Уравнение \( \operatorname{tg} x = x \ln x \) является трансцендентным и не имеет простого аналитического решения.
Для ответа требуется указать уравнение, корни которого являются искомыми точками.

Ответ: Точки, в которых \( f'(x) = 0 \), являются корнями трансцендентного уравнения \( \operatorname{tg} x = x \ln x \) при условии \( x > 0 \) и \( \sin x \neq 0 \).