ГДЗ: Упражнение 851 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем правило частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - u v'}{v^2} \), где \( u = \sin x - \cos x \) и \( v = x \).

• Шаг 1: Находим производные:
  \( u' = (\sin x - \cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x \).
  \( v' = (x)' = 1 \).
• Шаг 2: Применяем правило частного:
  \( f'(x) = \frac{(\cos x + \sin x) \cdot x - (\sin x - \cos x) \cdot 1}{x^2} \)
• Шаг 3: Упрощаем числитель:
  \( f'(x) = \frac{x \cos x + x \sin x - \sin x + \cos x}{x^2} \).

Ответ: \( \frac{x \cos x + x \sin x - \sin x + \cos x}{x^2} \)

Шаг 1: Упростим числитель, используя формулу синуса двойного угла \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \):
Числитель \( = 1 - 2 \sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 \).
Тогда функция: \( f(x) = \frac{(\sin x - \cos x)^2}{\sin x - \cos x} \).

Шаг 2: Сокращаем дробь при условии \( \sin x - \cos x \neq 0 \):
\( f(x) = \sin x - \cos x \) (при \( x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k \)).

Шаг 3: Находим производную упрощенной функции:
\( f'(x) = (\sin x - \cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x \).

Ответ: \( \cos x + \sin x \), при условии \( x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).