ГДЗ: Упражнение 849 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем правило частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - u v'}{v^2} \), где \( u = 1 + \cos x \) и \( v = e^x \).

• Шаг 1: Находим производные:
  \( u' = (1 + \cos x)' = -\sin x \).
  \( v' = (e^x)' = e^x \).
• Шаг 2: Применяем правило частного:
  \( f'(x) = \frac{(-\sin x) e^x - (1 + \cos x) e^x}{(e^x)^2} \)
• Шаг 3: Упрощаем, вынося \( e^x \) и сокращая:
  \( f'(x) = \frac{e^x (-\sin x - 1 - \cos x)}{e^{2x}} = \frac{-(\sin x + \cos x + 1)}{e^x} \).

Ответ: \( -\frac{\sin x + \cos x + 1}{e^x} \)

Используем правило частного, где \( u = \sqrt{3x} = (3x)^{1/2} \) и \( v = 3^x + 1 \).

• Шаг 1: Находим производные:
  \( u' = (\sqrt{3x})' = \frac{1}{2\sqrt{3x}} \cdot (3x)' = \frac{3}{2\sqrt{3x}} \).
  \( v' = (3^x + 1)' = 3^x \ln 3 \).
• Шаг 2: Применяем правило частного:
  \( f'(x) = \frac{u'v - u v'}{v^2} = \frac{\frac{3}{2\sqrt{3x}} (3^x + 1) - \sqrt{3x} (3^x \ln 3)}{(3^x + 1)^2} \).
• Шаг 3: Упрощаем числитель, умножая и деля на \( 2\sqrt{3x} \):
  Числитель \( = \frac{3(3^x + 1) - 2\sqrt{3x} \cdot \sqrt{3x} (3^x \ln 3)}{2\sqrt{3x}} = \frac{3 \cdot 3^x + 3 - 2(3x) 3^x \ln 3}{2\sqrt{3x}} \).
  Числитель \( = \frac{3 \cdot 3^x + 3 - 6x 3^x \ln 3}{2\sqrt{3x}} = \frac{3 \cdot 3^x (1 - 2x \ln 3) + 3}{2\sqrt{3x}} \).
• Шаг 4: Записываем результат:
  \( f'(x) = \frac{3 \cdot 3^x (1 - 2x \ln 3) + 3}{2\sqrt{3x} (3^x + 1)^2} \).

Ответ: \( \frac{3 \cdot 3^x (1 - 2x \ln 3) + 3}{2\sqrt{3x} (3^x + 1)^2} \)

Используем правило частного, где \( u = e^{0.5x} \) и \( v = \cos 2x - 5 \).

• Шаг 1: Находим производные:
  \( u' = (e^{0.5x})' = 0.5 e^{0.5x} \).
  \( v' = (\cos 2x - 5)' = -\sin 2x \cdot (2x)' = -2 \sin 2x \).
• Шаг 2: Применяем правило частного:
  \( f'(x) = \frac{u'v - u v'}{v^2} = \frac{0.5 e^{0.5x} (\cos 2x - 5) - e^{0.5x} (-2 \sin 2x)}{(\cos 2x - 5)^2} \).
• Шаг 3: Выносим общий множитель \( e^{0.5x} \) в числителе:
  \( f'(x) = \frac{e^{0.5x} (0.5 \cos 2x - 2.5 + 2 \sin 2x)}{(\cos 2x - 5)^2} \).

Ответ: \( \frac{e^{0.5x} (0.5 \cos 2x + 2 \sin 2x - 2.5)}{(\cos 2x - 5)^2} \)

Используем правило частного, где \( u = 5^{2x} \) и \( v = \sin 3x + 7 \).

• Шаг 1: Находим производные:
  \( u' = (5^{2x})' = 5^{2x} \ln 5 \cdot (2x)' = 2 \ln 5 \cdot 5^{2x} \).
  \( v' = (\sin 3x + 7)' = \cos 3x \cdot (3x)' = 3 \cos 3x \).
• Шаг 2: Применяем правило частного:
  \( f'(x) = \frac{u'v - u v'}{v^2} = \frac{2 \ln 5 \cdot 5^{2x} (\sin 3x + 7) - 5^{2x} (3 \cos 3x)}{(\sin 3x + 7)^2} \).
• Шаг 3: Выносим общий множитель \( 5^{2x} \) в числителе:
  \( f'(x) = \frac{5^{2x} (2 \ln 5 (\sin 3x + 7) - 3 \cos 3x)}{(\sin 3x + 7)^2} \).

Ответ: \( \frac{5^{2x} (2 \ln 5 (\sin 3x + 7) - 3 \cos 3x)}{(\sin 3x + 7)^2} \)