ГДЗ: Упражнение 848 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Перепишем функцию: \( f(x) = (x^2 + 2x - 1)^{1/2} \). Используем цепное правило для \( g(x)^{1/2} \).

• \( f'(x) = \frac{1}{2} (x^2 + 2x - 1)^{1/2 - 1} \cdot (x^2 + 2x - 1)' \)
• \( f'(x) = \frac{1}{2} (x^2 + 2x - 1)^{-1/2} \cdot (2x + 2) \)
• \( f'(x) = \frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2 + 2x - 1}} = \frac{x+1}{\sqrt{x^2 + 2x - 1}} \).

Ответ: \( \frac{x+1}{\sqrt{x^2 + 2x - 1}} \)

Используем цепное правило для показательной функции \( 2^{g(x)} \), где \( g(x) = \sqrt{\sin x} = (\sin x)^{1/2} \). Это тройная композиция.

• \( f'(x) = 2^{\sqrt{\sin x}} \ln 2 \cdot (\sqrt{\sin x})' \)
• \( (\sqrt{\sin x})' = \frac{1}{2\sqrt{\sin x}} \cdot (\sin x)' = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}} \).
• Собираем результат:
  \( f'(x) = 2^{\sqrt{\sin x}} \ln 2 \cdot \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}} \).

Ответ: \( \frac{\ln 2 \cdot \cos x \cdot 2^{\sqrt{\sin x}}}{2\sqrt{\sin x}} \)

Перепишем функцию: \( f(x) = (\ln x)^{1/2} \). Используем цепное правило для \( g(x)^{1/2} \).

• \( f'(x) = \frac{1}{2} (\ln x)^{-1/2} \cdot (\ln x)' \)
• \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln x}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x\sqrt{\ln x}} \).

Ответ: \( \frac{1}{2x\sqrt{\ln x}} \)

Способ 1: Использование свойства логарифмов.
\( f(x) = \log_2 x^{1/2} = \frac{1}{2} \log_2 x \).
\( f'(x) = \left( \frac{1}{2} \log_2 x \right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x \ln 2} = \frac{1}{2x \ln 2} \).

Способ 2: Использование цепного правила.
\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x} \ln 2} \cdot (\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{x} \ln 2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2x \ln 2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2x \ln 2} \)