ГДЗ: Упражнение 855 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \). Область определения: \( x > 0 \).
\( f'(x) = (x)' - (\ln x)' = 1 - \frac{1}{x} \).

Шаг 2: Находим, когда \( f'(x) = 0 \):
\( 1 - \frac{1}{x} = 0 \)
\( 1 = \frac{1}{x} \)
\( x = 1 \).

Шаг 3: Находим, когда \( f'(x) > 0 \):
\( 1 - \frac{1}{x} > 0 \)
\( 1 > \frac{1}{x} \)
Так как \( x > 0 \), умножаем на \( x \) без изменения знака:
\( x > 1 \).

Шаг 4: Находим, когда \( f'(x) < 0 \):
\( 1 - \frac{1}{x} < 0 \)
\( 1 < \frac{1}{x} \)
Умножаем на \( x \) (\( x > 0 \)):
\( x < 1 \).
С учетом области определения \( x > 0 \): \( 0 < x < 1 \).

• Равно нулю: \( x = 1 \)
• Положительно: \( x \in (1; +\infty) \)
• Отрицательно: \( x \in (0; 1) \)

Ответ: Равно 0 при \( x = 1 \). Положительно при \( x \in (1; +\infty) \). Отрицательно при \( x \in (0; 1) \).

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \). Область определения: \( x > 0 \).
Используем правило произведения \( (u v)' = u'v + u v' \), где \( u = x^2 \) и \( v = \ln x \).

• \( u' = (x^2)' = 2x \).
• \( v' = (\ln x)' = \frac{1}{x} \).
• \( f'(x) = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x = x (2 \ln x + 1) \).

Шаг 2: Находим, когда \( f'(x) = 0 \):
\( x (2 \ln x + 1) = 0 \).
Так как \( x > 0 \) в области определения, то \( x \neq 0 \).
\( 2 \ln x + 1 = 0 \)
\( \ln x = -\frac{1}{2} \)
\( x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \).

Шаг 3: Находим, когда \( f'(x) > 0 \).
\( x (2 \ln x + 1) > 0 \).
Так как \( x > 0 \), неравенство эквивалентно:
\( 2 \ln x + 1 > 0 \)
\( \ln x > -\frac{1}{2} \)
\( x > e^{-1/2} \).

Шаг 4: Находим, когда \( f'(x) < 0 \).
\( x (2 \ln x + 1) < 0 \).
Так как \( x > 0 \), неравенство эквивалентно:
\( 2 \ln x + 1 < 0 \)
\( \ln x < -\frac{1}{2} \)
\( x < e^{-1/2} \).
С учетом области определения \( x > 0 \): \( 0 < x < e^{-1/2} \).

• Равно нулю: \( x = \frac{1}{\sqrt{e}} \)
• Положительно: \( x \in \left(\frac{1}{\sqrt{e}}; +\infty\right) \)
• Отрицательно: \( x \in \left(0; \frac{1}{\sqrt{e}}\right) \)

Ответ: Равно 0 при \( x = \frac{1}{\sqrt{e}} \). Положительно при \( x \in \left(\frac{1}{\sqrt{e}}; +\infty\right) \). Отрицательно при \( x \in \left(0; \frac{1}{\sqrt{e}}\right) \).

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \). Область определения: \( x > 0 \).
\( f'(x) = (x^3)' - (3 \ln x)' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 - \frac{3}{x} = \frac{3x^3 - 3}{x} = \frac{3(x^3 - 1)}{x} \).

Шаг 2: Находим, когда \( f'(x) = 0 \).
\( \frac{3(x^3 - 1)}{x} = 0 \).
Так как \( x > 0 \), числитель должен быть равен нулю:
\( x^3 - 1 = 0 \)
\( x^3 = 1 \)
\( x = 1 \).

Шаг 3: Находим, когда \( f'(x) > 0 \).
\( \frac{3(x^3 - 1)}{x} > 0 \).
Так как \( 3 > 0 \) и \( x > 0 \), неравенство эквивалентно:
\( x^3 - 1 > 0 \)
\( x^3 > 1 \)
\( x > 1 \).

Шаг 4: Находим, когда \( f'(x) < 0 \).
\( \frac{3(x^3 - 1)}{x} < 0 \).
Так как \( 3 > 0 \) и \( x > 0 \), неравенство эквивалентно:
\( x^3 - 1 < 0 \)
\( x^3 < 1 \)
\( x < 1 \).
С учетом области определения \( x > 0 \): \( 0 < x < 1 \).

• Равно нулю: \( x = 1 \)
• Положительно: \( x \in (1; +\infty) \)
• Отрицательно: \( x \in (0; 1) \)

Ответ: Равно 0 при \( x = 1 \). Положительно при \( x \in (1; +\infty) \). Отрицательно при \( x \in (0; 1) \).