ГДЗ: Упражнение 833 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем правило суммы, формулу производной показательной функции \( (a^x)' = a^x \ln a \) и цепное правило для \( e^{x^2} \).

• Шаг 1: Применим правило суммы: \( f'(x) = (2^x)' + (e^{x^2})' \).
• Шаг 2: Находим производные:
  \( (2^x)' = 2^x \ln 2 \).
  \( (e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} \).
• Шаг 3: Складываем результаты: \( f'(x) = 2^x \ln 2 + 2x e^{x^2} \).

Ответ: \( 2^x \ln 2 + 2x e^{x^2} \)

Используем правило суммы/разности, формулу \( (a^x)' = a^x \ln a \) и цепное правило для \( 3^{x^2} \).

• Шаг 1: Применим правило суммы/разности: \( f'(x) = (3^{x^2})' - (2^x)' - (x)' \).
• Шаг 2: Находим производные:
  \( (3^{x^2})' = 3^{x^2} \ln 3 \cdot (x^2)' = 3^{x^2} \ln 3 \cdot 2x = 2x 3^{x^2} \ln 3 \).
  \( (2^x)' = 2^x \ln 2 \).
  \( (x)' = 1 \).
• Шаг 3: Записываем результат: \( f'(x) = 2x 3^{x^2} \ln 3 - 2^x \ln 2 - 1 \).

Ответ: \( 2x 3^{x^2} \ln 3 - 2^x \ln 2 - 1 \)

Используем правило суммы, формулу производной сложной показательной функции \( (e^{kx})' = k e^{kx} \) и степенной функции с константой.

• Шаг 1: Применим правило суммы: \( f'(x) = (e^{2x})' + (2x^2)' \).
• Шаг 2: Находим производные:
  \( (e^{2x})' = 2 e^{2x} \).
  \( (2x^2)' = 2 \cdot 2x = 4x \).
• Шаг 3: Складываем результаты: \( f'(x) = 2 e^{2x} + 4x \).

Ответ: \( 2 e^{2x} + 4x \)

Перепишем функцию: \( f(x) = e^{x^3} + x^{-4} \). Используем правило суммы, цепное правило для \( e^{x^3} \) и степенную формулу.

• Шаг 1: Применим правило суммы: \( f'(x) = (e^{x^3})' + (x^{-4})' \).
• Шаг 2: Находим производные:
  \( (e^{x^3})' = e^{x^3} \cdot (x^3)' = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2 e^{x^3} \).
  \( (x^{-4})' = -4 x^{-4-1} = -4 x^{-5} = -\frac{4}{x^5} \).
• Шаг 3: Складываем результаты: \( f'(x) = 3x^2 e^{x^3} - \frac{4}{x^5} \).

Ответ: \( 3x^2 e^{x^3} - \frac{4}{x^5} \)