ГДЗ: Упражнение 832 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем правило суммы, формулу производной сложной показательной функции \( (e^{kx+b})' = k e^{kx+b} \) и степенной функции с константой \( (cx^p)' = cpx^{p-1} \).

• Шаг 1: Применим правило суммы: \( f'(x) = (e^{2x+1})' + (2x^3)' \).
• Шаг 2: Находим производные:
  \( (e^{2x+1})' = 2 e^{2x+1} \) (где \( k=2 \)).
  \( (2x^3)' = 2 \cdot 3 x^{3-1} = 6x^2 \).
• Шаг 3: Складываем результаты: \( f'(x) = 2 e^{2x+1} + 6x^2 \).

Ответ: \( 2 e^{2x+1} + 6x^2 \)

Перепишем функцию: \( f(x) = e^{x^{-1} - 1} - (x-1)^{1/2} \). Используем правило разности и цепное правило для обеих частей.

• Шаг 1: Применим правило разности: \( f'(x) = (e^{x^{-1} - 1})' - ((x-1)^{1/2})' \).
• Шаг 2: Находим производную первой части (сложная функция \( e^{g(x)} \), где \( g(x) = x^{-1} - 1 \)):
  \( (e^{x^{-1} - 1})' = e^{x^{-1} - 1} \cdot (x^{-1} - 1)' \).
  \( (x^{-1} - 1)' = -1 x^{-2} - 0 = -\frac{1}{x^2} \).
  Таким образом, \( (e^{x^{-1} - 1})' = -\frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x} - 1} \).
• Шаг 3: Находим производную второй части (сложная функция \( g(x)^{1/2} \), где \( g(x) = x-1 \)):
  \( ((x-1)^{1/2})' = \frac{1}{2} (x-1)^{1/2 - 1} \cdot (x-1)' \).
  \( (x-1)' = 1 \).
  Таким образом, \( ((x-1)^{1/2})' = \frac{1}{2} (x-1)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \).
• Шаг 4: Вычитаем: \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x} - 1} - \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \).

Ответ: \( -\frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x} - 1} - \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \)

Перепишем функцию: \( f(x) = e^{0.3x^2 + 2} + x^{-1/2} \). Используем правило суммы и цепное правило.

• Шаг 1: Применим правило суммы: \( f'(x) = (e^{0.3x^2 + 2})' + (x^{-1/2})' \).
• Шаг 2: Находим производную первой части (сложная функция \( e^{g(x)} \), где \( g(x) = 0.3x^2 + 2 \)):
  \( (e^{0.3x^2 + 2})' = e^{0.3x^2 + 2} \cdot (0.3x^2 + 2)' \).
  \( (0.3x^2 + 2)' = 0.3 \cdot 2x = 0.6x \).
  Таким образом, \( (e^{0.3x^2 + 2})' = 0.6x e^{0.3x^2 + 2} \).
• Шаг 3: Находим производную второй части (степенная функция):
  \( (x^{-1/2})' = -\frac{1}{2} x^{-1/2 - 1} = -\frac{1}{2} x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} \).
• Шаг 4: Складываем результаты: \( f'(x) = 0.6x e^{0.3x^2 + 2} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} \).

Ответ: \( 0.6x e^{0.3x^2 + 2} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} \)