ГДЗ: Упражнение 842 - § 47 (Производные некоторых элементарных функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \):
\( f'(x) = (e^x)' - (x^2)' = e^x - 2x \).

Шаг 2: Требуется найти, когда \( f'(x) > 0 \):
\( e^x - 2x > 0 \)
\( e^x > 2x \)

Шаг 3: Решение трансцендентного неравенства.
Рассмотрим функцию \( g(x) = e^x - 2x \). Нам нужно найти, где \( g(x) > 0 \).
Найдем критические точки, приравняв производную \( g'(x) \) к нулю:
\( g'(x) = e^x - 2 \).
\( g'(x) = 0 \implies e^x = 2 \implies x = \ln 2 \).
При \( x = \ln 2 \) функция \( g(x) \) имеет локальный минимум:
\( g(\ln 2) = e^{\ln 2} - 2 \ln 2 = 2 - 2 \ln 2 = 2(1 - \ln 2) \).
Поскольку \( \ln 2 \approx 0.693 < 1 \), то \( g(\ln 2) > 0 \).

Шаг 4: Поскольку глобальный минимум функции \( g(x) \) положителен, и \( g(x) \) стремится к \( +\infty \) при \( x \to \pm\infty \), то \( g(x) > 0 \) для всех действительных \( x \).

Ответ: Производная положительна при всех \( x \in \mathbb{R} \).

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \). Область определения функции: \( x > 0 \).
Используем правило произведения для \( x \ln x \): \( (x \ln x)' = (x)' \ln x + x (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 \).
\( f'(x) = (x \ln x)' - (2x)' = (\ln x + 1) - 2 = \ln x - 1 \).

Шаг 2: Требуется найти, когда \( f'(x) > 0 \):
\( f'(x) > 0 \implies \ln x - 1 > 0 \)
\( \ln x > 1 \)

Шаг 3: Решаем логарифмическое неравенство.
Поскольку основание логарифма \( e > 1 \), сохраняем знак неравенства:
\( x > e^1 \)
\( x > e \).

Ответ: Производная положительна при \( x > e \).

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \).
Используем правило разности и цепное правило:
\( f'(x) = (x)' - (e^{x^2})' = 1 - e^{x^2} \cdot (x^2)' = 1 - 2x e^{x^2} \).

Шаг 2: Требуется найти, когда \( f'(x) > 0 \):
\( f'(x) > 0 \implies 1 - 2x e^{x^2} > 0 \)
\( 1 > 2x e^{x^2} \)
\( 2x e^{x^2} < 1 \).

Шаг 3: Решение трансцендентного неравенства.
Рассмотрим функцию \( h(x) = 2x e^{x^2} \). Нам нужно найти, когда \( h(x) < 1 \).
Случай 1: Если \( x \le 0 \), то \( 2x e^{x^2} \le 0 \). Поскольку \( 0 < 1 \), неравенство выполняется при всех \( x \le 0 \).
Случай 2: Если \( x > 0 \), функция \( h(x) \) возрастает, так как ее производная \( h'(x) = 2(1 \cdot e^{x^2} + x \cdot e^{x^2} \cdot 2x) = 2e^{x^2} (1 + 2x^2) > 0 \).
Существует единственное положительное число \( x_0 \) такое, что \( 2x_0 e^{x_0^2} = 1 \). Это число можно найти только численно (приблизительно \( x_0 \approx 0.4263 \)).
При \( 0 < x < x_0 \), неравенство \( 2x e^{x^2} < 1 \) выполняется.

Ответ: Производная положительна при \( x \in (-\infty, x_0) \), где \( x_0 \) — единственный положительный корень уравнения \( 2x e^{x^2} = 1 \) (приблизительно \( x_0 \approx 0.4263 \)).

Шаг 1: Находим производную \( f'(x) \). Область определения функции: \( x \ge 0 \).
Используем правило произведения \( (u v)' = u'v + u v' \), где \( u = e^{\sqrt{x}} \) и \( v = \sqrt{x} = x^{1/2} \).

• Находим производные сомножителей:
  \( u' = (e^{\sqrt{x}})' = e^{\sqrt{x}} \cdot (x^{1/2})' = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \).
  \( v' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
• Применяем правило произведения:
  \( f'(x) = u'v + u v' = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \cdot \sqrt{x} + e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
• Упрощаем:
  \( f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2} + \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \).

Шаг 2: Требуется найти, когда \( f'(x) > 0 \).
\( f'(x) > 0 \implies \frac{e^{\sqrt{x}}}{2} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) > 0 \).

Шаг 3: Анализируем выражение.
В области определения \( x > 0 \) (так как \( \sqrt{x} \) находится в знаменателе):
\( e^{\sqrt{x}} > 0 \), \( \frac{1}{2} > 0 \), \( \sqrt{x} > 0 \), и следовательно \( 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} > 1 > 0 \).
Произведение положительных множителей положительно.

Ответ: Производная положительна при всех \( x \in (0; +\infty) \).