А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
369 упражнение:
Вычислить:
1)
\( \log_{\frac{1}{4}} 64 \)
Ответ
Шаг 1: Представим основание \( \frac{1}{4} \) и число \( 64 \) как степени числа \( 4 \).
\( \frac{1}{4} = 4^{-1} \) \( 64 = 4^3 \) Шаг 2: Заменим в логарифме:
\( \log_{\frac{1}{4}} 64 = \log_{4^{-1}} 4^3 \) Шаг 3: Воспользуемся свойством логарифма: \( \log_{a^k} b^p = \frac{p}{k} \log_a b \).
\( \log_{4^{-1}} 4^3 = \frac{3}{-1} \log_{4} 4 \) Шаг 4: Используем свойство \( \log_a a = 1 \).
\( -3 \log_{4} 4 = -3 \cdot 1 = -3 \) Ответ: \( -3 \)
2)
\( \log_{\frac{1}{3}} 81 \)
Ответ
Шаг 1: Представим основание \( \frac{1}{3} \) и число \( 81 \) как степени числа \( 3 \).
\( \frac{1}{3} = 3^{-1} \) \( 81 = 3^4 \) Шаг 2: Заменим в логарифме:
\( \log_{\frac{1}{3}} 81 = \log_{3^{-1}} 3^4 \) Шаг 3: Воспользуемся свойством логарифма: \( \log_{a^k} b^p = \frac{p}{k} \log_a b \).
\( \log_{3^{-1}} 3^4 = \frac{4}{-1} \log_{3} 3 \) Шаг 4: Используем свойство \( \log_a a = 1 \).
\( -4 \log_{3} 3 = -4 \cdot 1 = -4 \) Ответ: \( -4 \)
3)
\( \log_{\frac{1}{27}} \frac{1}{3} \)
Ответ
Шаг 1: Представим основание \( \frac{1}{27} \) и число \( \frac{1}{3} \) как степени числа \( 3 \).
\( \frac{1}{27} = 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3} \) \( \frac{1}{3} = 3^{-1} \) Шаг 2: Заменим в логарифме:
\( \log_{\frac{1}{27}} \frac{1}{3} = \log_{3^{-3}} 3^{-1} \) Шаг 3: Воспользуемся свойством логарифма: \( \log_{a^k} b^p = \frac{p}{k} \log_a b \).
\( \log_{3^{-3}} 3^{-1} = \frac{-1}{-3} \log_{3} 3 \) Шаг 4: Используем свойство \( \log_a a = 1 \).
\( \frac{1}{3} \log_{3} 3 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \) Ответ: \( \frac{1}{3} \)
4)
\( \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} \)
Ответ
Шаг 1: Представим число \( \frac{1}{64} \) как степень числа \( \frac{1}{2} \).
\( \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^6 \) Шаг 2: Воспользуемся свойством логарифма степени: \( \log_a b^p = p \log_a b \).
\( 6 \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \) Шаг 3: Используем свойство \( \log_a a = 1 \).
\( 6 \cdot 1 = 6 \) Ответ: \( 6 \)
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени \(x\), в которую нужно возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Основное логарифмическое тождество
Основание \(a\), возведенное в степень, равную логарифму числа \(b\) по основанию \(a\), равно числу \(b\).
\( a^{\log_a b} = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Свойства логарифмов (произведение, частное, степень)
Формулы для преобразования логарифмов.
\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c; \quad \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c; \quad \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию
Позволяет выразить логарифм по основанию \(a\) через логарифмы по новому основанию \(c\).
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Монотонность логарифмической функции
Функция \( y = \log_a x \) возрастает при \( a > 1 \) и убывает при \( 0 < a < 1 \).
\( a > 1 \Rightarrow \text{возрастает}; \quad 0 < a < 1 \Rightarrow \text{убывает} \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа Глава 4
Глава
Глава 4
Параграф
Глава 4 — Итоговые упражнения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
