А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
380 упражнение:
Решить уравнение:
1)
\( \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x - 3) = 1 \)
Ответ
Шаг 1: Определим ОДЗ.
\( x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \) \( x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \) Общее ОДЗ: \( x > 3 \) Шаг 2: Применим свойство суммы логарифмов: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \).
\( \log_{2} ((x - 2)(x - 3)) = 1 \) Шаг 3: Перейдем от логарифмического уравнения к показательному.
\( (x - 2)(x - 3) = 2^1 \) \( x^2 - 5x + 6 = 2 \) Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
\( x^2 - 5x + 4 = 0 \) Корни (по Виету: \( x_1 + x_2 = 5 \), \( x_1 x_2 = 4 \)): \( x_1 = 4 \), \( x_2 = 1 \). Шаг 5: Проверим корни на принадлежность ОДЗ \( x > 3 \).
\( x_1 = 4 \): \( 4 > 3 \) (подходит) \( x_2 = 1 \): \( 1 \ngtr 3 \) (не подходит) Ответ: \( x = 4 \)
2)
\( \log_{3} (5 - x) - \log_{3} (x - 1) = 3 \)
Ответ
Шаг 1: Определим ОДЗ.
\( 5 - x > 0 \Rightarrow x < 5 \) \( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \) Общее ОДЗ: \( 1 < x < 5 \) Шаг 2: Применим свойство разности логарифмов.
\( \log_{3} \left( \frac{5 - x}{x - 1} \right) = 3 \) Шаг 3: Перейдем от логарифмического уравнения к показательному.
\( \frac{5 - x}{x - 1} = 3^3 \) \( \frac{5 - x}{x - 1} = 27 \) Шаг 4: Решим уравнение (учитывая, что \( x \ne 1 \), что следует из ОДЗ).
\( 5 - x = 27 (x - 1) \) \( 5 - x = 27x - 27 \) \( 5 + 27 = 27x + x \) \( 32 = 28x \) \( x = \frac{32}{28} = \frac{8}{7} \) Шаг 5: Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. \( \frac{8}{7} = 1 \frac{1}{7} \). \( 1 < 1 \frac{1}{7} < 5 \). Корень подходит.
Ответ: \( x = \frac{8}{7} \)
3)
\( \lg (x - 2) + \lg x = \lg 3 \)
Ответ
Шаг 1: Определим ОДЗ.
\( x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \) \( x > 0 \) Общее ОДЗ: \( x > 2 \) Шаг 2: Применим свойство суммы логарифмов в левой части.
\( \lg ((x - 2) x) = \lg 3 \) \( \lg (x^2 - 2x) = \lg 3 \) Шаг 3: Приравняем аргументы логарифмов.
\( x^2 - 2x = 3 \) \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
Корни: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = -1 \). Шаг 5: Проверим корни на принадлежность ОДЗ \( x > 2 \).
\( x_1 = 3 \): \( 3 > 2 \) (подходит) \( x_2 = -1 \): \( -1 \ngtr 2 \) (не подходит) Ответ: \( x = 3 \)
4)
\( \log_{\sqrt{6}} (x - 1) + \log_{\sqrt{6}} (x + 4) = \log_{\sqrt{6}} 6 \)
Ответ
Шаг 1: Определим ОДЗ.
\( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \) \( x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4 \) Общее ОДЗ: \( x > 1 \) Шаг 2: Применим свойство суммы логарифмов в левой части.
\( \log_{\sqrt{6}} ((x - 1)(x + 4)) = \log_{\sqrt{6}} 6 \) Шаг 3: Приравняем аргументы логарифмов.
\( (x - 1)(x + 4) = 6 \) \( x^2 + 4x - x - 4 = 6 \) \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
Корни (по Виету: \( x_1 + x_2 = -3 \), \( x_1 x_2 = -10 \)): \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -5 \). Шаг 5: Проверим корни на принадлежность ОДЗ \( x > 1 \).
\( x_1 = 2 \): \( 2 > 1 \) (подходит) \( x_2 = -5 \): \( -5 \ngtr 1 \) (не подходит) Ответ: \( x = 2 \)
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени \(x\), в которую нужно возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Основное логарифмическое тождество
Основание \(a\), возведенное в степень, равную логарифму числа \(b\) по основанию \(a\), равно числу \(b\).
\( a^{\log_a b} = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Свойства логарифмов (произведение, частное, степень)
Формулы для преобразования логарифмов.
\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c; \quad \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c; \quad \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию
Позволяет выразить логарифм по основанию \(a\) через логарифмы по новому основанию \(c\).
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Монотонность логарифмической функции
Функция \( y = \log_a x \) возрастает при \( a > 1 \) и убывает при \( 0 < a < 1 \).
\( a > 1 \Rightarrow \text{возрастает}; \quad 0 < a < 1 \Rightarrow \text{убывает} \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа Глава 4
Глава
Глава 4
Параграф
Глава 4 — Итоговые упражнения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
