ГДЗ: Упражнение 399 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Задание переменных и составление системы уравнений.

• Пусть три последовательных члена геометрической прогрессии - это \( b_1, b_2, b_3 \).

• По свойству геометрической прогрессии: \( b_2 = b_1 q \), \( b_3 = b_1 q^2 \) или, что удобнее, возьмем их в виде \( \frac{b}{q}, b, bq \), где \( b \) - второй член, \( q \) - знаменатель.

• Условие 1 (Сумма членов):
  \( \frac{b}{q} + b + bq = 62 \) (1)

• Условие 2 (Сумма десятичных логарифмов):
  \( \lg \frac{b}{q} + \lg b + \lg bq = 3 \)

2. Решение второго уравнения.

Используем свойство суммы логарифмов: \( \lg x + \lg y = \lg (xy) \).
\( \lg \left( \frac{b}{q} \cdot b \cdot bq \right) = 3 \)
\( \lg \left( b^3 \right) = 3 \)

• По определению десятичного логарифма:
  \( b^3 = 10^3 = 1000 \).

• Находим \( b \):
  \( b = \sqrt[3]{1000} = 10 \).

3. Решение первого уравнения.

Подставим \( b = 10 \) в уравнение (1):
\( \frac{10}{q} + 10 + 10q = 62 \).

• Разделим на 10 и перенесем 10 вправо:
  \( \frac{1}{q} + 1 + q = 6.2 \)
  \( \frac{1}{q} + q = 5.2 \) (или \( \frac{26}{5} \)).

• Умножим на \( q \) (\( q \ne 0 \)):
  \( 1 + q^2 = 5.2q \)
  \( q^2 - 5.2q + 1 = 0 \).

• Умножим на 5: \( 5q^2 - 26q + 5 = 0 \).

4. Решение квадратного уравнения для \( q \).

• Дискриминант: \( D = (-26)^2 - 4(5)(5) = 676 - 100 = 576 = 24^2 \).

• Корни: \( q_{1, 2} = \frac{26 \pm 24}{10} \).

• \( q_1 = \frac{50}{10} = 5 \), \( q_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \).

5. Нахождение членов прогрессии.

Члены прогрессии: \( \frac{b}{q}, b, bq \) с \( b = 10 \).

• Случай 1: \( q = 5 \).
  Члены: \( \frac{10}{5}, 10, 10 \cdot 5 \) \( \implies 2, 10, 50 \).

• Случай 2: \( q = \frac{1}{5} \).
  Члены: \( \frac{10}{\frac{1}{5}}, 10, 10 \cdot \frac{1}{5} \) \( \implies 50, 10, 2 \).

В обоих случаях это одна и та же последовательность чисел.

Ответ: 2, 10, 50 (или 50, 10, 2).