ГДЗ: Упражнение 376 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Поскольку одна функция возрастает, а другая убывает, существует единственная точка пересечения.
Шаг 4: Установим точное (или ближайшее целое) решение. Сравним значения в \( x=3 \) (1 и 2) и \( x=4 \) (1.26 и 1). Решение должно быть между 3 и 4. Графически видно, что точка пересечения расположена между \( x=3 \) и \( x=4 \).
Ответ: Единственный корень \( x \) находится в интервале \( (3; 4) \). (Графическое решение дает приближенный ответ). Уточнение: В типовых задачах такого рода часто предполагается целое решение, но здесь его нет. Корень \( x \approx 3,69 \).
2)
\( \lg x = 3x \)
Ответ
Шаг 1: Рассмотрим две функции:
\( y_1 = \lg x \) (логарифмическая функция с основанием \( 10 > 1 \), возрастающая)
\( y_2 = 3x \) (линейная функция, возрастающая прямая, проходящая через начало координат)
Шаг 2: Построим графики. Функция \( y_1 = \lg x \) определена только для \( x > 0 \).
Шаг 3: Сравнение. На интервале \( (0, 1) \), \( y_1 \) принимает отрицательные значения, а \( y_2 \) положительные. В точке \( x=1 \), \( y_1 = 0 \) и \( y_2 = 3 \). При \( x > 1 \), \( y_1 \) растет очень медленно (например, \( \lg 10 = 1 \)), а \( y_2 \) растет быстро (например, \( 3 \cdot 10 = 30 \)).
Видно, что прямая \( y_2 = 3x \) всегда находится выше графика \( y_1 = \lg x \) для всех \( x \ge 1 \), а для \( 0 < x < 1 \), \( y_1 \) отрицательна, а \( y_2 \) положительна. Графики не пересекаются.
Ответ: Уравнение не имеет решений.
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени \(x\), в которую нужно возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Основное логарифмическое тождество
Основание \(a\), возведенное в степень, равную логарифму числа \(b\) по основанию \(a\), равно числу \(b\).
\( a^{\log_a b} = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Свойства логарифмов (произведение, частное, степень)
Формулы для преобразования логарифмов.
\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c; \quad \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c; \quad \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию
Позволяет выразить логарифм по основанию \(a\) через логарифмы по новому основанию \(c\).
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Монотонность логарифмической функции
Функция \( y = \log_a x \) возрастает при \( a > 1 \) и убывает при \( 0 < a < 1 \).
\( a > 1 \Rightarrow \text{возрастает}; \quad 0 < a < 1 \Rightarrow \text{убывает} \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
