ГДЗ: Упражнение 383 - Параграф Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

383 упражнение:

Решить неравенство:

1) \( \lg (x^2 + 2x + 2) < 1 \)

Ответ

Шаг 1: Определим ОДЗ. Аргумент логарифма \( x^2 + 2x + 2 \) должен быть строго положителен. Дискриминант квадратного трехчлена \( D = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 \). Поскольку \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен, \( x^2 + 2x + 2 > 0 \) для всех действительных \( x \). ОДЗ: \( x \in (-\infty; +\infty) \).

Шаг 2: Представим правую часть в виде логарифма по основанию \( 10 \).

\( 1 = \lg 10 \)

Неравенство: \( \lg (x^2 + 2x + 2) < \lg 10 \)

Шаг 3: Отбросим логарифмы. Основание \( a = 10 \), \( 10 > 1 \), знак неравенства сохраняется.

\( x^2 + 2x + 2 < 10 \)

\( x^2 + 2x - 8 < 0 \)

Шаг 4: Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения \( x^2 + 2x - 8 = 0 \).

Корни (по Виету: \( x_1 + x_2 = -2 \), \( x_1 x_2 = -8 \)): \( x_1 = -4 \), \( x_2 = 2 \).

Шаг 5: Парабола направлена ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2 + 2x - 8 < 0 \) выполняется между корнями.

\( -4 < x < 2 \)

Ответ: \( (-4; 2) \)

2) \( \log_{3} (x^2 + 7x - 5) > 1 \)

Ответ

Шаг 1: Представим правую часть в виде логарифма по основанию \( 3 \).

\( 1 = \log_3 3 \)

Неравенство: \( \log_{3} (x^2 + 7x - 5) > \log_{3} 3 \)

Шаг 2: Отбросим логарифмы. Основание \( a = 3 \), \( 3 > 1 \), знак неравенства сохраняется.

\( x^2 + 7x - 5 > 3 \)

\( x^2 + 7x - 8 > 0 \)

Шаг 3: Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения \( x^2 + 7x - 8 = 0 \).

Корни (по Виету: \( x_1 + x_2 = -7 \), \( x_1 x_2 = -8 \)): \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -8 \).

Шаг 4: Парабола направлена ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2 + 7x - 8 > 0 \) выполняется вне корней.

\( x < -8 \) или \( x > 1 \)

Шаг 5: Проверим ОДЗ. В логарифмическом неравенстве, если мы переходим к сравнению аргументов, ОДЗ (\( x^2 + 7x - 5 > 0 \)) уже учтено (поскольку мы требуем, чтобы аргумент был больше 3, а \( 3 > 0 \)).

Проверим: Если \( x^2 + 7x - 5 > 3 \), то автоматически \( x^2 + 7x - 5 > 0 \).

Ответ: \( (-\infty; -8) \cup (1; +\infty) \)

Что применять при решении

Определение логарифма

Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени \(x\), в которую нужно возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\).

\( \log_a b = x \iff a^x = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)

Основное логарифмическое тождество

Основание \(a\), возведенное в степень, равную логарифму числа \(b\) по основанию \(a\), равно числу \(b\).

\( a^{\log_a b} = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)

Свойства логарифмов (произведение, частное, степень)

Формулы для преобразования логарифмов.

\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c; \quad \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c; \quad \log_a b^p = p \log_a b \)

Формула перехода к новому основанию

Позволяет выразить логарифм по основанию \(a\) через логарифмы по новому основанию \(c\).

\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)

Монотонность логарифмической функции

Функция \( y = \log_a x \) возрастает при \( a > 1 \) и убывает при \( 0 < a < 1 \).

\( a > 1 \Rightarrow \text{возрастает}; \quad 0 < a < 1 \Rightarrow \text{убывает} \)

Другие упражнения из параграфа Глава 4

368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4
Параграф: Глава 4 — Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.