А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
378 упражнение:
Решить уравнение (378–380).
1)
\( \log_{\frac{1}{2}} (7 - 8x) = -2 \)
Ответ
Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным.
ОДЗ: \( 7 - 8x > 0 \Rightarrow -8x > -7 \Rightarrow x < \frac{7}{8} \) Шаг 2: Перейдем от логарифмического уравнения к показательному по определению логарифма: \( \log_a b = c \iff a^c = b \).
\( 7 - 8x = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \) Шаг 3: Вычислим правую часть.
\( \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 2^2 = 4 \) Шаг 4: Решим линейное уравнение.
\( 7 - 8x = 4 \) \( -8x = 4 - 7 \) \( -8x = -3 \) \( x = \frac{3}{8} \) Шаг 5: Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. \( \frac{3}{8} < \frac{7}{8} \). Корень подходит.
Ответ: \( x = \frac{3}{8} \)
2)
\( \lg (x^2 - 2) = \lg x \)
Ответ
Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ). Оба аргумента логарифма должны быть положительными.
\( x^2 - 2 > 0 \Rightarrow (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty) \) \( x > 0 \) Пересечение: \( x > \sqrt{2} \) (т.к. \( \sqrt{2} \approx 1,41 \)) Шаг 2: Так как логарифмы по одному основанию равны, то их аргументы должны быть равны.
\( x^2 - 2 = x \) Шаг 3: Решим квадратное уравнение.
\( x^2 - x - 2 = 0 \) По теореме Виета или через дискриминант, корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -1 \). Шаг 4: Проверим корни на принадлежность ОДЗ \( x > \sqrt{2} \).
\( x_1 = 2 \): \( 2 > \sqrt{2} \) (подходит) \( x_2 = -1 \): \( -1 \ngtr \sqrt{2} \) (не подходит) Ответ: \( x = 2 \)
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени \(x\), в которую нужно возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Основное логарифмическое тождество
Основание \(a\), возведенное в степень, равную логарифму числа \(b\) по основанию \(a\), равно числу \(b\).
\( a^{\log_a b} = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Свойства логарифмов (произведение, частное, степень)
Формулы для преобразования логарифмов.
\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c; \quad \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c; \quad \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию
Позволяет выразить логарифм по основанию \(a\) через логарифмы по новому основанию \(c\).
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Монотонность логарифмической функции
Функция \( y = \log_a x \) возрастает при \( a > 1 \) и убывает при \( 0 < a < 1 \).
\( a > 1 \Rightarrow \text{возрастает}; \quad 0 < a < 1 \Rightarrow \text{убывает} \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа Глава 4
Глава
Глава 4
Параграф
Глава 4 — Итоговые упражнения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
