А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
381 упражнение:
Решить неравенство (381–383).
1)
\( \log_{2} (x - 5) < 2 \)
Ответ
Шаг 1: Определим ОДЗ.
ОДЗ: \( x - 5 > 0 \Rightarrow x > 5 \) Шаг 2: Представим правую часть в виде логарифма по основанию \( 2 \).
\( 2 = 2 \log_2 2 = \log_2 2^2 = \log_2 4 \) Неравенство примет вид: \( \log_{2} (x - 5) < \log_{2} 4 \) Шаг 3: Отбросим логарифмы. Основание \( a = 2 \), \( 2 > 1 \), значит, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
\( x - 5 < 4 \) \( x < 9 \) Шаг 4: Объединим с ОДЗ \( x > 5 \).
\( 5 < x < 9 \) Ответ: \( (5; 9) \)
2)
\( \log_{3} (7 - x) > 1 \)
Ответ
Шаг 1: Определим ОДЗ.
ОДЗ: \( 7 - x > 0 \Rightarrow -x > -7 \Rightarrow x < 7 \) Шаг 2: Представим правую часть в виде логарифма по основанию \( 3 \).
\( 1 = \log_3 3 \) Неравенство: \( \log_{3} (7 - x) > \log_{3} 3 \) Шаг 3: Отбросим логарифмы. Основание \( a = 3 \), \( 3 > 1 \), знак неравенства сохраняется.
\( 7 - x > 3 \) \( -x > 3 - 7 \) \( -x > -4 \) \( x < 4 \) Шаг 4: Объединим с ОДЗ \( x < 7 \).
Общее решение: \( x < 4 \) Ответ: \( (-\infty; 4) \)
3)
\( \log_{\frac{1}{2}} (2x + 1) > -2 \)
Ответ
Шаг 1: Определим ОДЗ.
ОДЗ: \( 2x + 1 > 0 \Rightarrow 2x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{2} \) Шаг 2: Представим правую часть в виде логарифма по основанию \( \frac{1}{2} \).
\( -2 = -2 \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = \log_{\frac{1}{2}} 4 \) Неравенство: \( \log_{\frac{1}{2}} (2x + 1) > \log_{\frac{1}{2}} 4 \) Шаг 3: Отбросим логарифмы. Основание \( a = \frac{1}{2} \), \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), значит, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный .
\( 2x + 1 < 4 \) \( 2x < 3 \) \( x < 1,5 \) Шаг 4: Объединим с ОДЗ \( x > -\frac{1}{2} \).
\( -\frac{1}{2} < x < 1,5 \) Ответ: \( (-0,5; 1,5) \)
4)
\( \log_{\frac{1}{2}} (3 - 5x) < -3 \)
Ответ
Шаг 1: Определим ОДЗ.
ОДЗ: \( 3 - 5x > 0 \Rightarrow -5x > -3 \Rightarrow x < \frac{3}{5} = 0,6 \) Шаг 2: Представим правую часть в виде логарифма по основанию \( \frac{1}{2} \).
\( -3 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{-3} = \log_{\frac{1}{2}} 8 \) Неравенство: \( \log_{\frac{1}{2}} (3 - 5x) < \log_{\frac{1}{2}} 8 \) Шаг 3: Отбросим логарифмы. Основание \( a = \frac{1}{2} \), \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), знак неравенства меняется на противоположный .
\( 3 - 5x > 8 \) \( -5x > 8 - 3 \) \( -5x > 5 \) \( x < -1 \) Шаг 4: Объединим с ОДЗ \( x < 0,6 \).
Общее решение: \( x < -1 \) Ответ: \( (-\infty; -1) \)
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени \(x\), в которую нужно возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Основное логарифмическое тождество
Основание \(a\), возведенное в степень, равную логарифму числа \(b\) по основанию \(a\), равно числу \(b\).
\( a^{\log_a b} = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Свойства логарифмов (произведение, частное, степень)
Формулы для преобразования логарифмов.
\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c; \quad \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c; \quad \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию
Позволяет выразить логарифм по основанию \(a\) через логарифмы по новому основанию \(c\).
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Монотонность логарифмической функции
Функция \( y = \log_a x \) возрастает при \( a > 1 \) и убывает при \( 0 < a < 1 \).
\( a > 1 \Rightarrow \text{возрастает}; \quad 0 < a < 1 \Rightarrow \text{убывает} \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа Глава 4
Глава
Глава 4
Параграф
Глава 4 — Итоговые упражнения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
