А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
371 упражнение:
Вычислить:
1)
\( (0,1)^{ \log_{0,1} 0,3} \)
Ответ
Шаг 1: Применим основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \).
В данном случае: \( a = 0,1 \) и \( b = 0,3 \). Шаг 2: Вычисляем по тождеству.
\( (0,1)^{ \log_{0,1} 0,3} = 0,3 \) Ответ: \( 0,3 \)
2)
\( 10^{2 - \lg 4} \)
Ответ
Шаг 1: Разложим степень, используя свойство \( a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} \).
\( 10^{2 - \lg 4} = \frac{10^2}{10^{\lg 4}} \) Шаг 2: Вычислим числитель и применим основное логарифмическое тождество (\( a^{\log_a b} = b \), где \( \lg 4 = \log_{10} 4 \)) к знаменателю.
\( \frac{10^2}{10^{\lg 4}} = \frac{100}{4} \) Шаг 3: Выполним деление.
\( \frac{100}{4} = 25 \) Ответ: \( 25 \)
3)
\( 5^{3 \log_{5} 3} \)
Ответ
Шаг 1: Перенесем множитель \( 3 \) в показатель степени числа \( 3 \) внутри логарифма, используя свойство \( p \log_a b = \log_a b^p \).
\( 5^{3 \log_{5} 3} = 5^{\log_{5} 3^3} \) Шаг 2: Вычислим \( 3^3 = 27 \).
\( 5^{\log_{5} 27} \) Шаг 3: Применим основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \).
\( 5^{\log_{5} 27} = 27 \) Ответ: \( 27 \)
4)
\( \left( \frac{1}{6} \right)^{-\log_{6} 4} \)
Ответ
Шаг 1: Представим основание \( \frac{1}{6} \) как \( 6^{-1} \).
\( \left( \frac{1}{6} \right)^{-\log_{6} 4} = (6^{-1})^{-\log_{6} 4} \) Шаг 2: Упростим показатель, используя свойство \( (a^x)^y = a^{xy} \). Знак минус в показателе основания умножается на знак минус перед логарифмом.
\( (6^{-1})^{-\log_{6} 4} = 6^{(-1) \cdot (-\log_{6} 4)} = 6^{\log_{6} 4} \) Шаг 3: Применим основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \).
\( 6^{\log_{6} 4} = 4 \) Ответ: \( 4 \)
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени \(x\), в которую нужно возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Основное логарифмическое тождество
Основание \(a\), возведенное в степень, равную логарифму числа \(b\) по основанию \(a\), равно числу \(b\).
\( a^{\log_a b} = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Свойства логарифмов (произведение, частное, степень)
Формулы для преобразования логарифмов.
\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c; \quad \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c; \quad \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию
Позволяет выразить логарифм по основанию \(a\) через логарифмы по новому основанию \(c\).
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Монотонность логарифмической функции
Функция \( y = \log_a x \) возрастает при \( a > 1 \) и убывает при \( 0 < a < 1 \).
\( a > 1 \Rightarrow \text{возрастает}; \quad 0 < a < 1 \Rightarrow \text{убывает} \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа Глава 4
Глава
Глава 4
Параграф
Глава 4 — Итоговые упражнения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
