1. Определение геометрической прогрессии.
Пусть дана последовательность положительных чисел \( b_1, b_2, b_3, \dots, b_n, \dots \), которая является геометрической прогрессией. Это означает, что каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число \( q \) (знаменатель прогрессии):
\( b_n = b_{n-1} \cdot q \) для \( n \ge 2 \).
Общая формула \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \).
2. Логарифмирование членов прогрессии.
Возьмем логарифмы каждого члена по некоторому основанию \( a \) (где \( a > 0 \), \( a \ne 1 \)). Поскольку \( b_n > 0 \), логарифмы определены.
Пусть \( a_n = \log_a b_n \).
Рассмотрим разность между двумя последовательными логарифмами:
\( a_n - a_{n-1} = \log_a b_n - \log_a b_{n-1} \).
3. Применение свойства логарифма частного.
Поскольку \( b_n = b_{n-1} \cdot q \), то \( \frac{b_n}{b_{n-1}} = q \).
\( a_n - a_{n-1} = \log_a \frac{b_n}{b_{n-1}} = \log_a q \).
4. Вывод.
Разность \( a_n - a_{n-1} \) равна \( \log_a q \), что является постоянным числом \( d \) (разность арифметической прогрессии).
\( a_n - a_{n-1} = d \), где \( d = \log_a q \).
Таким образом, последовательность логарифмов \( \log_a b_1, \log_a b_2, \dots, \log_a b_n, \dots \) является арифметической прогрессией с разностью \( d = \log_a q \).