ГДЗ: Упражнение 388 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Для логарифма \( \log_8 x \) необходимо, чтобы аргумент был положителен: \( x > 0 \).

2. Упрощение правой части.

Десятичный логарифм \( \lg 10 \) равен 1, так как \( 10^1 = 10 \). Неравенство принимает вид:
\( \log_8 x < 1 \).

3. Решение логарифмического неравенства.

Представим правую часть в виде логарифма по основанию 8: \( 1 = \log_8 8 \).
Неравенство: \( \log_8 x < \log_8 8 \).

Поскольку основание логарифма \( 8 > 1 \) (функция возрастающая), то знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам:
\( x < 8 \).

4. Учет ОДЗ.

Объединяем условие \( x < 8 \) с ОДЗ \( x > 0 \).
\( 0 < x < 8 \).

Ответ: \( 0 < x < 8 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимо, чтобы аргументы логарифмов были положительны: \( x > 0 \) и \( x^2 > 0 \). Оба условия выполняются при \( x > 0 \).

2. Приведение к общему основанию.

• Приведем правую часть к основанию 3, используя формулу \( \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b \) или \( \log_{\frac{1}{a}} b = -\log_a b \):
  \( \log_{\frac{1}{3}} x^2 = -\log_3 x^2 \).

• Применим свойство логарифма: \( -\log_3 x^2 = -2 \log_3 x \) (поскольку \( x > 0 \), \( \log_3 x^2 = 2 \log_3 x \)).

Неравенство принимает вид:
\( \log_3 x < -2 \log_3 x \).

3. Решение неравенства.

• Перенесем все члены в левую часть:
  \( \log_3 x + 2 \log_3 x < 0 \)

• Приведем подобные члены:
  \( 3 \log_3 x < 0 \)

• Разделим на 3 (знак неравенства не меняется):
  \( \log_3 x < 0 \)

4. Преобразование правой части и учет монотонности.

• Представим 0 как логарифм по основанию 3: \( 0 = \log_3 1 \).
  \( \log_3 x < \log_3 1 \).

• Поскольку основание логарифма \( 3 > 1 \) (функция возрастающая), то знак неравенства сохраняется:
  \( x < 1 \).

5. Учет ОДЗ.

Объединяем условие \( x < 1 \) с ОДЗ \( x > 0 \).
\( 0 < x < 1 \).

Ответ: \( 0 < x < 1 \).