1. Формула перехода к основанию 10.
Используем формулу перехода к новому основанию (десятичному логарифму \( \lg \)):
\( \log_{30} 64 = \frac{\lg 64}{\lg 30} \).
2. Выражение аргументов через известные логарифмы.
Выразим \( \lg 64 \) через \( \lg 2 \): \( \lg 64 = \lg 2^6 = 6 \lg 2 \).
Выразим \( \lg 30 \) через \( \lg 3 \) и \( \lg 5 \): \( \lg 30 = \lg (3 \cdot 10) = \lg 3 + \lg 10 = \lg 3 + 1 \).
Выразим \( \lg 2 \) через \( \lg 5 \): \( \lg 2 = \lg \frac{10}{5} = \lg 10 - \lg 5 = 1 - \lg 5 \).
3. Подстановка значений.
Формула примет вид:
\( \log_{30} 64 = \frac{6 \lg 2}{\lg 3 + 1} = \frac{6 (1 - \lg 5)}{\lg 3 + 1} \).
Подставляем известные приближенные значения \( \lg 3 \approx 0,4771 \) и \( \lg 5 \approx 0,6990 \):
\( \log_{30} 64 \approx \frac{6 (1 - 0,6990)}{0,4771 + 1} = \frac{6 (0,3010)}{1,4771} = \frac{1,8060}{1,4771} \).
4. Вычисление и округление.
Проведем деление:
\( \frac{1,8060}{1,4771} \approx 1,22266 \).
Округляем до 0,001 (три знака после запятой):
\( 1,22266 \approx 1,223 \).
Ответ: \( \log_{30} 64 \approx 1,223 \).