ГДЗ: Упражнение 375 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:
1)
\( y = \log_{0,2} x \)
Ответ
Определяющим является основание логарифма \( a = 0,2 \). Поскольку \( 0 < 0,2 < 1 \), функция убывающая.
2)
\( y = \log_{\sqrt{5}} x \)
Ответ
Определяющим является основание логарифма \( a = \sqrt{5} \). Так как \( \sqrt{5} \approx 2,236 \), то \( \sqrt{5} > 1 \). Функция возрастающая.
3)
\( y = \log_{e} x \)
Ответ
Определяющим является основание логарифма \( a = e \) (натуральный логарифм \( \ln x \)). Так как \( e \approx 2,718 \), то \( e > 1 \). Функция возрастающая.
4)
\( y = \log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} x \)
Ответ
Определяющим является основание логарифма \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Так как \( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1,414}{2} \approx 0,707 \), то \( 0 < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1 \). Функция убывающая.
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени \(x\), в которую нужно возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Основное логарифмическое тождество
Основание \(a\), возведенное в степень, равную логарифму числа \(b\) по основанию \(a\), равно числу \(b\).
\( a^{\log_a b} = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Свойства логарифмов (произведение, частное, степень)
Формулы для преобразования логарифмов.
\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c; \quad \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c; \quad \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию
Позволяет выразить логарифм по основанию \(a\) через логарифмы по новому основанию \(c\).
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Монотонность логарифмической функции
Функция \( y = \log_a x \) возрастает при \( a > 1 \) и убывает при \( 0 < a < 1 \).
\( a > 1 \Rightarrow \text{возрастает}; \quad 0 < a < 1 \Rightarrow \text{убывает} \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
