А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
379 упражнение:
Решить уравнение:
1)
\( \lg (x^2 - 2x) = \lg 30 - 1 \)
Ответ
Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным.
ОДЗ: \( x^2 - 2x > 0 \Rightarrow x(x - 2) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty) \) Шаг 2: Представим число \( 1 \) как логарифм по основанию \( 10 \): \( 1 = \lg 10 \).
\( \lg (x^2 - 2x) = \lg 30 - \lg 10 \) Шаг 3: Применим свойство разности логарифмов: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right) \).
\( \lg (x^2 - 2x) = \lg \left( \frac{30}{10} \right) \) \( \lg (x^2 - 2x) = \lg 3 \) Шаг 4: Приравняем аргументы логарифмов.
\( x^2 - 2x = 3 \) Шаг 5: Решим квадратное уравнение.
\( x^2 - 2x - 3 = 0 \) Корни (по Виету: \( x_1 + x_2 = 2 \), \( x_1 x_2 = -3 \)): \( x_1 = 3 \), \( x_2 = -1 \). Шаг 6: Проверим корни на принадлежность ОДЗ \( x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty) \).
\( x_1 = 3 \): \( 3 > 2 \) (подходит) \( x_2 = -1 \): \( -1 < 0 \) (подходит) Ответ: \( x_1 = 3; \quad x_2 = -1 \)
2)
\( \log_{3} (2x^2 + x) = \log_{3} 6 - \log_{3} 2 \)
Ответ
Шаг 1: Определим ОДЗ: \( 2x^2 + x > 0 \Rightarrow x(2x + 1) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -0,5) \cup (0; +\infty) \).
Шаг 2: Применим свойство разности логарифмов в правой части.
\( \log_{3} (2x^2 + x) = \log_{3} \left( \frac{6}{2} \right) \) \( \log_{3} (2x^2 + x) = \log_{3} 3 \) Шаг 3: Приравняем аргументы логарифмов. Так как \( \log_3 3 = 1 \), получаем.
\( 2x^2 + x = 3 \) Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
\( 2x^2 + x - 3 = 0 \) Найдем дискриминант: \( D = 1^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25 \) Корни: \( x = \frac{-1 \pm 5}{4} \). \( x_1 = \frac{4}{4} = 1 \), \( x_2 = \frac{-6}{4} = -1,5 \). Шаг 5: Проверим корни на принадлежность ОДЗ \( x \in (-\infty; -0,5) \cup (0; +\infty) \).
\( x_1 = 1 \): \( 1 > 0 \) (подходит) \( x_2 = -1,5 \): \( -1,5 < -0,5 \) (подходит) Ответ: \( x_1 = 1; \quad x_2 = -1,5 \)
3)
\( \log_{\sqrt{2}} 3 \lg x = 4 \)
Ответ
Шаг 1: Определим ОДЗ: \( x > 0 \).
Шаг 2: Учтем, что \( \log_{\sqrt{2}} 3 \) - это константа. Разделим обе части на эту константу.
\( \lg x = \frac{4}{\log_{\sqrt{2}} 3} \) Шаг 3: Используем свойство логарифма: \( \frac{1}{\log_a b} = \log_b a \).
\( \lg x = 4 \log_{3} \sqrt{2} \) Шаг 4: Используем свойство логарифма степени: \( p \log_a b = \log_a b^p \).
\( \lg x = \log_{3} (\sqrt{2})^4 \) \( \lg x = \log_{3} 4 \) Шаг 5: Перейдем от логарифма к показательному выражению по основанию \( 10 \).
\( x = 10^{\log_{3} 4} \) Ответ: \( x = 10^{\log_{3} 4} \)
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени \(x\), в которую нужно возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Основное логарифмическое тождество
Основание \(a\), возведенное в степень, равную логарифму числа \(b\) по основанию \(a\), равно числу \(b\).
\( a^{\log_a b} = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Свойства логарифмов (произведение, частное, степень)
Формулы для преобразования логарифмов.
\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c; \quad \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c; \quad \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию
Позволяет выразить логарифм по основанию \(a\) через логарифмы по новому основанию \(c\).
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Монотонность логарифмической функции
Функция \( y = \log_a x \) возрастает при \( a > 1 \) и убывает при \( 0 < a < 1 \).
\( a > 1 \Rightarrow \text{возрастает}; \quad 0 < a < 1 \Rightarrow \text{убывает} \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа Глава 4
Глава
Глава 4
Параграф
Глава 4 — Итоговые упражнения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
