ГДЗ: Упражнение 401 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Для \( x^{\lg 9} \) и \( 9^{\lg x} \) необходимо, чтобы \( x \) был положительным (так как в показателе логарифм): \( x > 0 \).

2. Применение ключевого свойства.

Используем свойство показательно-логарифмических выражений: \( a^{\log_c b} = b^{\log_c a} \).
В нашем случае, используем основание 10 для логарифма: \( \lg 9 = \log_{10} 9 \) и \( \lg x = \log_{10} x \).

Тогда \( x^{\lg 9} = x^{\log_{10} 9} \) и \( 9^{\lg x} = 9^{\log_{10} x} \).

По свойству: \( x^{\log_{10} 9} = 9^{\log_{10} x} \).

3. Упрощение уравнения.

Обозначим \( y = x^{\lg 9} \). Тогда уравнение принимает вид:
\( y + y = 6 \)
\( 2y = 6 \)
\( y = 3 \).

4. Обратная замена и решение.

Возвращаемся к \( x \):
\( x^{\lg 9} = 3 \).

• Прологарифмируем обе части по основанию 10:
  \( \lg (x^{\lg 9}) = \lg 3 \)
  \( (\lg 9) \cdot (\lg x) = \lg 3 \).

• Заменим \( \lg 9 = \lg 3^2 = 2 \lg 3 \):
  \( (2 \lg 3) \cdot (\lg x) = \lg 3 \).

• Поскольку \( 3 \ne 1 \), то \( \lg 3 \ne 0 \). Разделим обе части на \( \lg 3 \):
  \( 2 \lg x = 1 \)
  \( \lg x = \frac{1}{2} \).

• Находим \( x \):
  \( x = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10} \).

5. Проверка ОДЗ.

Корень \( x = \sqrt{10} \) удовлетворяет ОДЗ \( x > 0 \).

Ответ: \( x = \sqrt{10} \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимо \( x > 0 \).

2. Логарифмирование обеих частей.

Прологарифмируем обе части по основанию 10 (\( \lg \)):
\( \lg \left( x^{\lg^3 x - \frac{2}{3} \lg x} \right) = \lg \left( 100 \sqrt[3]{10} \right) \).

• Применим свойство логарифма степени к левой части:
  \( \left( \lg^3 x - \frac{2}{3} \lg x \right) \cdot \lg x = \lg \left( 100 \sqrt[3]{10} \right) \).

• Упростим правую часть:
  \( \lg \left( 10^2 \cdot 10^{\frac{1}{3}} \right) = \lg (10^{2 + \frac{1}{3}}) = \lg (10^{\frac{7}{3}}) = \frac{7}{3} \lg 10 = \frac{7}{3} \).

Уравнение принимает вид:
\( \lg^4 x - \frac{2}{3} \lg^2 x = \frac{7}{3} \).

3. Замена переменной.

Пусть \( y = \lg x \). Уравнение:
\( y^4 - \frac{2}{3} y^2 = \frac{7}{3} \).

• Умножим на 3:
  \( 3y^4 - 2y^2 - 7 = 0 \).

• Это биквадратное уравнение относительно \( y^2 \). Пусть \( z = y^2 \), где \( z \ge 0 \).
  \( 3z^2 - 2z - 7 = 0 \).

4. Решение квадратного уравнения для \( z \).

• Дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4(3)(-7) = 4 + 84 = 88 \).

• Корни: \( z_{1, 2} = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{22}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{22}}{3} \).

• Поскольку \( \sqrt{22} \approx 4.69 \), то \( z_1 = \frac{1 + \sqrt{22}}{3} > 0 \), а \( z_2 = \frac{1 - \sqrt{22}}{3} < 0 \).
  Подходит только \( z = z_1 = \frac{1 + \sqrt{22}}{3} \).

5. Обратная замена и нахождение \( x \).

• \( y^2 = \frac{1 + \sqrt{22}}{3} \)
  \( y = \lg x = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{22}}{3}} \).

• Случай 1: \( \lg x = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{22}}{3}} \) \( \implies x_1 = 10^{\sqrt{\frac{1 + \sqrt{22}}{3}}} \).

• Случай 2: \( \lg x = -\sqrt{\frac{1 + \sqrt{22}}{3}} \) \( \implies x_2 = 10^{-\sqrt{\frac{1 + \sqrt{22}}{3}}} \).

Оба корня положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \( x = 10^{\pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{22}}{3}}} \).