Шаг 1: Заменим основание \( \frac{1}{3} \) на \( 3^{-1} \) и используем свойство \( \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b \). Здесь \( k=-1 \), то есть логарифм по основанию \( \frac{1}{3} \) равен \( -\log_3 b \).
\( 4 \log_{\frac{1}{3}} 3 = -4 \log_3 3 = -4 \cdot 1 = -4 \)\( -2 \log_{\frac{1}{3}} 27 = -2 (-\log_3 27) = 2 \log_3 3^3 = 2 \cdot 3 = 6 \)\( -\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 6 = -\frac{1}{2} (-\log_3 6) = \frac{1}{2} \log_3 6 \)Шаг 2: Подставим значения и преобразуем выражение.
\( -4 + 6 + \frac{1}{2} \log_3 6 = 2 + \frac{1}{2} \log_3 6 \)Уточнение: Если считать, что в задании опечатка, и оно должно быть \( 4 \log_{\frac{1}{3}} 3 - 2 \log_{\frac{1}{3}} 27 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 6 \), как часто бывает в такого типа примерах, то решение будет:
\( -4 - (-6) + (-\frac{1}{2} \log_3 6) = -4 + 6 - \frac{1}{2} \log_3 6 = 2 - \frac{1}{2} \log_3 6 \)Наиболее вероятное решение, если это сумма/разность логарифмов:
Объединим логарифмы, используя свойство \( \log_{1/a} b = -\log_a b \) и \( p \log_a b = \log_a b^p \). Пусть \( A \) – исходное выражение.
\( A = \log_{\frac{1}{3}} 3^4 - \log_{\frac{1}{3}} 27^2 - \log_{\frac{1}{3}} 6^{1/2} \)\( A = \log_{\frac{1}{3}} 81 - \log_{\frac{1}{3}} 729 - \log_{\frac{1}{3}} \sqrt{6} \)\( A = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{81}{729 \sqrt{6}} \right) \)Так как \( \frac{81}{729} = \frac{1}{9} \), то \( A = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{9 \sqrt{6}} \right) \)\( A = -\log_3 \left( \frac{1}{9 \sqrt{6}} \right) = \log_3 (9 \sqrt{6}) = \log_3 (3^2 \cdot 6^{1/2}) \)\( A = \log_3 3^2 + \log_3 6^{1/2} = 2 + \frac{1}{2} \log_3 6 \). Оставляем этот результат как есть, но это не целое число.Проверка по первому, самому простому методу:
\( 4 \log_{\frac{1}{3}} 3 = 4 \cdot (-1) = -4 \)\( -2 \log_{\frac{1}{3}} 27 = -2 \cdot (-3) = 6 \)\( -\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 6 \) - не вычисляется без калькулятора.Предполагая, что задание является опечаткой и должно давать целое число, возможно, там не \( 6 \), а \( \frac{1}{9} \) или \( \frac{1}{81} \), или же \( 6 \) должно быть объединено с предыдущими слагаемыми.
Если считать, что задание дано как сумма/разность логарифмов, то это:
\( 4 \log_{\frac{1}{3}} 3 - 2 \log_{\frac{1}{3}} 27 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 6 = -4 + 6 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 6 = 2 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 6 \). Оставляем: \( 2 + \frac{1}{2} \log_3 6 \)Ответ: \( 2 + \frac{1}{2} \log_3 6 \)
