ГДЗ: Упражнение 405 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x > 0 \).
2) \( x - 3 > 0 \) \( \implies x > 3 \).
3) \( x^2 - 3x > 0 \) \( \implies x(x - 3) > 0 \) \( \implies x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty) \).

Общее ОДЗ: \( x > 3 \).

2. Преобразование правой части.

Применим свойство суммы логарифмов:
\( \log_2 (x^2 - 3x) = \log_2 (x(x - 3)) = \log_2 x + \log_2 (x - 3) \) (поскольку \( x > 3 \)).

Уравнение принимает вид:
\( \log_2 x \cdot \log_2 (x - 3) + 1 = \log_2 x + \log_2 (x - 3) \).

3. Замена переменной и решение.

Пусть \( a = \log_2 x \) и \( b = \log_2 (x - 3) \).
Уравнение: \( ab + 1 = a + b \).

• Перенесем все в левую часть и сгруппируем:
  \( ab - a - b + 1 = 0 \)
  \( a(b - 1) - (b - 1) = 0 \)
  \( (a - 1)(b - 1) = 0 \).

• Это дает два случая: \( a = 1 \) или \( b = 1 \).

4. Обратная замена.

• Случай 1: \( a = 1 \).
  \( \log_2 x = 1 \) \( \implies x = 2^1 = 2 \).

• Случай 2: \( b = 1 \).
  \( \log_2 (x - 3) = 1 \) \( \implies x - 3 = 2^1 = 2 \) \( \implies x = 5 \).

5. Проверка корней по ОДЗ.

• Корень \( x = 2 \) не удовлетворяет ОДЗ \( x > 3 \).

• Корень \( x = 5 \) удовлетворяет ОДЗ \( x > 3 \).

Ответ: \( x = 5 \).