ГДЗ: Упражнение 397 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимо \( x > 0 \).

2. Приведение к общему основанию.

Приведем второй логарифм к основанию 4, используя \( \log_{\frac{1}{a}} b = -\log_a b \):
\( \log_{\frac{1}{4}} x = -\log_4 x \).

Неравенство принимает вид:
\( 4 \log_4 x - 33 (-\log_4 x) \le 1 \)
\( 4 \log_4 x + 33 \log_4 x \le 1 \).

3. Решение относительно \( \log_4 x \).

• Приведем подобные члены:
  \( 37 \log_4 x \le 1 \).

• Разделим на 37:
  \( \log_4 x \le \frac{1}{37} \).

4. Нахождение \( x \).

• Представим правую часть в виде логарифма:
  \( \log_4 x \le \log_4 4^{\frac{1}{37}} \).

• Основание \( 4 > 1 \), поэтому знак сохраняется:
  \( x \le 4^{\frac{1}{37}} \).

5. Учет ОДЗ.

Пересечение с ОДЗ \( x > 0 \):
\( 0 < x \le 4^{\frac{1}{37}} \).

Ответ: \( x \in \left( 0; 4^{\frac{1}{37}} \right] \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимо \( x > 0 \).

2. Раскрытие скобок и приведение к линейному неравенству.

• \( 2 \log_3 x < 4 + 4 \log_3 x \).

• Перенесем \( 4 \log_3 x \) влево, а 2 вправо (или наоборот):
  \( 2 \log_3 x - 4 \log_3 x < 4 \)
  \( -2 \log_3 x < 4 \).

• Разделим на -2 и поменяем знак неравенства:
  \( \log_3 x > -2 \).

3. Нахождение \( x \).

• Представим правую часть в виде логарифма:
  \( \log_3 x > \log_3 3^{-2} \)
  \( \log_3 x > \log_3 \frac{1}{9} \).

• Основание \( 3 > 1 \), поэтому знак сохраняется:
  \( x > \frac{1}{9} \).

4. Учет ОДЗ.

Пересечение с ОДЗ \( x > 0 \):
\( x > \frac{1}{9} \).

Ответ: \( x \in \left( \frac{1}{9}; +\infty \right) \).