ГДЗ: Упражнение 374 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Построить график функции: 1) \( y = \log_4 x \); 2) \( y = \log_{\frac{1}{4}} x \).<br>Какая из данных функций является возрастающей? убывающей? При каких значениях \( x \) каждая функция принимает положительные значения? отрицательные значения? равные нулю?
1)
\( y = \log_4 x \)
Ответ
1. Построение графика:
График проходит через точки \( (1, 0) \), \( (4, 1) \), \( (16, 2) \), \( (\frac{1}{4}, -1) \).
2. Монотонность:
Основание логарифма \( a = 4 \). Так как \( 4 > 1 \), функция возрастает.
3. Область значений:
Положительные значения (\( y > 0 \)): Функция возрастает и проходит через \( (1, 0) \). Значит, \( y > 0 \) при \( x > 1 \).
Отрицательные значения (\( y < 0 \)): \( y < 0 \) при \( 0 < x < 1 \).
Значения, равные нулю (\( y = 0 \)): \( y = 0 \) при \( x = 1 \).
2)
\( y = \log_{\frac{1}{4}} x \)
Ответ
1. Построение графика:
График проходит через точки \( (1, 0) \), \( (4, -1) \), \( (16, -2) \), \( (\frac{1}{4}, 1) \).
2. Монотонность:
Основание логарифма \( a = \frac{1}{4} \). Так как \( 0 < \frac{1}{4} < 1 \), функция убывает.
3. Область значений:
Положительные значения (\( y > 0 \)): Функция убывает и проходит через \( (1, 0) \). Значит, \( y > 0 \) при \( 0 < x < 1 \).
Отрицательные значения (\( y < 0 \)): \( y < 0 \) при \( x > 1 \).
Значения, равные нулю (\( y = 0 \)): \( y = 0 \) при \( x = 1 \).
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени \(x\), в которую нужно возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Основное логарифмическое тождество
Основание \(a\), возведенное в степень, равную логарифму числа \(b\) по основанию \(a\), равно числу \(b\).
\( a^{\log_a b} = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Свойства логарифмов (произведение, частное, степень)
Формулы для преобразования логарифмов.
\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c; \quad \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c; \quad \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию
Позволяет выразить логарифм по основанию \(a\) через логарифмы по новому основанию \(c\).
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Монотонность логарифмической функции
Функция \( y = \log_a x \) возрастает при \( a > 1 \) и убывает при \( 0 < a < 1 \).
\( a > 1 \Rightarrow \text{возрастает}; \quad 0 < a < 1 \Rightarrow \text{убывает} \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
