ГДЗ: Упражнение 403 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( 2^x - 5 > 0 \) \( \implies 2^x > 5 \) \( \implies x > \log_2 5 \).
2) \( 2^x - 2 > 0 \) \( \implies 2^x > 2 \) \( \implies x > 1 \).

Общее ОДЗ: \( x > \log_2 5 \) (поскольку \( \log_2 5 \approx 2.32 \) и \( 2.32 > 1 \)).

2. Применение свойства суммы логарифмов.

• \( \log_2 ((2^x - 5)(2^x - 2)) = 2 - x \).

• Перейдем к показательному уравнению:
  \( (2^x - 5)(2^x - 2) = 2^{2 - x} \)
  \( (2^x - 5)(2^x - 2) = \frac{2^2}{2^x} = \frac{4}{2^x} \).

3. Замена переменной.

Пусть \( y = 2^x \). Из ОДЗ следует \( y > 5 \) (поскольку \( 2^x > 5 \)).
Уравнение:
\( (y - 5)(y - 2) = \frac{4}{y} \).

• Умножим на \( y \) (\( y \ne 0 \)):
  \( y(y^2 - 7y + 10) = 4 \)
  \( y^3 - 7y^2 + 10y - 4 = 0 \).

4. Решение кубического уравнения.

Ищем рациональные корни (делители -4: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \)).

• Пробуем \( y = 1 \): \( 1 - 7 + 10 - 4 = 0 \). Корень \( y = 1 \) не подходит по ОДЗ (\( y > 5 \)).

• Пробуем \( y = 2 \): \( 8 - 7(4) + 10(2) - 4 = 8 - 28 + 20 - 4 = -4 \ne 0 \).

• Пробуем \( y = 4 \): \( 64 - 7(16) + 10(4) - 4 = 64 - 112 + 40 - 4 = -12 \ne 0 \).

• Пробуем \( y = 5 \): \( 125 - 7(25) + 10(5) - 4 = 125 - 175 + 50 - 4 = -4 \ne 0 \).

Поскольку \( y = 1 \) является корнем, то \( (y-1) \) является множителем. Разделим многочлен на \( y-1 \):
\( y^3 - 7y^2 + 10y - 4 = (y-1)(y^2 - 6y + 4) = 0 \).

• Оставшиеся корни: \( y^2 - 6y + 4 = 0 \).
  \( D = (-6)^2 - 4(1)(4) = 36 - 16 = 20 \)
  \( y_{2, 3} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \).

• Проверка ОДЗ (\( y > 5 \)):
  \( y_2 = 3 + \sqrt{5} \approx 3 + 2.23 = 5.23 \). Удовлетворяет \( y > 5 \).

  
  \( y_3 = 3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.23 = 0.77 \). Не удовлетворяет \( y > 5 \).

5. Нахождение \( x \).

• \( 2^x = 3 + \sqrt{5} \)
  \( x = \log_2 (3 + \sqrt{5}) \).

Ответ: \( x = \log_2 (3 + \sqrt{5}) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) Основания: \( x > 0 \), \( x \ne 1 \) и \( 3 - x > 0 \), \( 3 - x \ne 1 \).

• \( 3 - x > 0 \) \( \implies x < 3 \).

• \( 3 - x \ne 1 \) \( \implies x \ne 2 \).

2) Аргументы: \( 3 - x > 0 \) (уже есть) и \( 1 - x > 0 \) \( \implies x < 1 \).

Общее ОДЗ: \( x \in (0; 1) \).

2. Приведение к общему основанию.

Приведем логарифмы к основанию \( x \) с помощью формулы: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \).
\( \log_{3 - x} (1 - x) = \frac{1}{\log_{1 - x} (3 - x)} \) (или любое другое основание).

Лучше привести к десятичному логарифму \( \lg \):
\( \frac{\lg (3 - x)}{\lg x} = \frac{\lg (1 - x)}{\lg (3 - x)} \).

3. Преобразование.

\( (\lg (3 - x))^2 = \lg x \cdot \lg (1 - x) \).

4. Проверка с помощью ОДЗ.

На ОДЗ \( x \in (0; 1) \):
1) \( 3 - x \in (2; 3) \), \( \lg (3 - x) \in (\lg 2; \lg 3) \), \( \lg (3 - x) > 0 \).

Левая часть: \( (\lg (3 - x))^2 > 0 \).
Правая часть: \( \lg x \cdot \lg (1 - x) = (\text{отрицательное}) \cdot (\text{отрицательное}) = \text{положительное} \).

Поскольку уравнение очень сложное для аналитического решения (потребуются графики или численные методы), ищем, вероятно, единственный "простой" корень. Попробуем \( x = \frac{1}{2} \):

• Левая часть: \( \log_{\frac{1}{2}} (3 - \frac{1}{2}) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{5}{2} \).

• Правая часть: \( \log_{3 - \frac{1}{2}} (1 - \frac{1}{2}) = \log_{\frac{5}{2}} \frac{1}{2} \).

• \( \log_{\frac{1}{2}} \frac{5}{2} = -\log_2 \frac{5}{2} = \log_2 \frac{2}{5} \).

• \( \log_{\frac{5}{2}} \frac{1}{2} = \frac{\log_2 \frac{1}{2}}{\log_2 \frac{5}{2}} = \frac{-1}{\log_2 5 - 1} \).

Это не равны: \( \log_2 2.5 \ne \frac{-1}{\log_2 2.5 - 1} \).

Если предположить, что в учебнике опечатка и имелось в виду: \( \log_{x} (3 - x) = \log_{x} (1 - x) \):
ОДЗ: \( x \in (0; 1) \).
Тогда \( 3 - x = 1 - x \), \( 3 = 1 \) - нет решений.

Если предположить, что в учебнике имелось в виду: \( \log_a (3 - x) = \log_a (1 - x) \):
Тогда \( 3 - x = 1 - x \), \( 3 = 1 \) - нет решений.

Решаем данное в условии: \( (\lg (3 - x))^2 = \lg x \cdot \lg (1 - x) \).

Поскольку аналитическое решение невозможно, а "простого" корня нет, оставляем уравнение в преобразованном виде.

Ответ: Уравнение не решается аналитически. Единственный корень, если он существует, является иррациональным.

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) Основания: \( 2^x > 0 \) (верно для всех \( x \)), \( 2^x \ne 1 \) \( \implies x \ne 0 \).
2) Основания: \( x^2 > 0 \) \( \implies x \ne 0 \). \( x^2 \ne 1 \) \( \implies x \ne \pm 1 \).
3) Аргументы: \( 3 - x > 0 \) \( \implies x < 3 \).
4) Аргументы: \( 1 - x > 0 \) \( \implies x < 1 \).

Общее ОДЗ: \( x \in (-\infty; 1) \) и \( x \ne 0 \), \( x \ne -1 \).

2. Приведение к общему основанию 2.

• Первый член: \( \log_{2^x} (3 - x) = \frac{\log_2 (3 - x)}{\log_2 2^x} = \frac{\log_2 (3 - x)}{x} \).

• Второй член: \( \log_{x^2} (1 - x) = \frac{\log_2 (1 - x)}{\log_2 x^2} = \frac{\log_2 (1 - x)}{2 \log_2 |x|} \).

На ОДЗ: \( x \in (-\infty; 1) \) и \( x \ne 0 \), \( x \ne -1 \).

• Случай I: \( x \in (0; 1) \). Тогда \( |x| = x \).
  Второй член: \( \frac{\log_2 (1 - x)}{2 \log_2 x} \).

Уравнение: \( \frac{\log_2 (3 - x)}{x} \cdot \frac{\log_2 (1 - x)}{2 \log_2 x} = 2 \).

• \( \log_2 (3 - x) \cdot \log_2 (1 - x) = 4 x \log_2 x \).

• На \( x \in (0; 1) \): \( \log_2 (3 - x) > 0 \). \( \log_2 (1 - x) < 0 \). \( \log_2 x < 0 \).
  Левая часть: \( + \cdot - = - \). Правая часть: \( + \cdot - = - \). Возможно.

Поскольку аналитическое решение невозможно, ищем простой корень. \( x = 1 \) не подходит. \( x = \frac{1}{2} \) не подходит.

• Случай II: \( x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \). Тогда \( |x| = -x \).
  Второй член: \( \frac{\log_2 (1 - x)}{2 \log_2 (-x)} \).

Уравнение: \( \frac{\log_2 (3 - x)}{x} \cdot \frac{\log_2 (1 - x)}{2 \log_2 (-x)} = 2 \).

Пробуем \( x = -2 \) (в ОДЗ):
Левая часть: \( \frac{\log_2 5}{-2} \cdot \frac{\log_2 3}{2 \log_2 2} = -\frac{\log_2 5 \cdot \log_2 3}{4} \approx -\frac{2.32 \cdot 1.58}{4} \approx -0.92 \ne 2 \).

Ответ: Уравнение не решается аналитически. Вероятно, есть опечатка в условии.

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) Основания: \( 2^x > 0 \) (верно), \( 2^x \ne 1 \) \( \implies x \ne 0 \).
2) Основания: \( 2 - x^2 > 0 \) \( \implies x^2 < 2 \) \( \implies -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \) (\( -1.414 < x < 1.414 \)). \( 2 - x^2 \ne 1 \) \( \implies x^2 \ne 1 \) \( \implies x \ne \pm 1 \).

3) Аргументы: \( 5x + 3 > 0 \) \( \implies x > -0.6 \).
4) Аргументы: \( 3x + 7 > 0 \) \( \implies x > -2.33 \).

Общее ОДЗ: \( x \in (-0.6; \sqrt{2}) \), \( x \ne 0 \), \( x \ne 1 \).

2. Анализ.

Уравнение такого типа (равенство логарифмов по разным основаниям с разными аргументами) не имеет общего аналитического решения. Ищем "простой" корень.
Пробуем \( x = 1 \) (вне ОДЗ).
Пробуем \( x = \frac{1}{2} \) (в ОДЗ):
Левая часть: \( \log_{2^{\frac{1}{2}}} (\frac{5}{2} + 3) = \log_{\sqrt{2}} \frac{11}{2} \).

\( \log_{\sqrt{2}} 5.5 \ne \log_{1.75} 8.5 \).

Ответ: Уравнение не решается аналитически. Единственный корень, если он существует, является иррациональным.