ГДЗ: Упражнение 956 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение области определения.

Функция \( y = 2x^3 + 3x^2 - 2 \) является многочленом, её область определения - вся числовая прямая: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

Шаг 2: Нахождение первой производной.

Вычисляем производную функции:

\( y' = (2x^3 + 3x^2 - 2)' = 2 \cdot 3x^{3-1} + 3 \cdot 2x^{2-1} - 0 = 6x^2 + 6x \).

Шаг 3: Нахождение критических точек.

Приравниваем производную к нулю: \( y' = 0 \).

\( 6x^2 + 6x = 0 \)

\( 6x(x + 1) = 0 \)

Критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -1 \).

Шаг 4: Определение знака производной.

Критические точки делят числовую прямую на интервалы: \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 0) \), \( (0; +\infty) \). Исследуем знак \( y' = 6x(x + 1) \) на каждом интервале, выбирая тестовые точки.

• Интервал \( (-\infty; -1) \): Возьмем \( x = -2 \). \( y'(-2) = 6(-2)(-2 + 1) = (-12)(-1) = 12 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (-1; 0) \): Возьмем \( x = -0.5 \). \( y'(-0.5) = 6(-0.5)(-0.5 + 1) = (-3)(0.5) = -1.5 < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (0; +\infty) \): Возьмем \( x = 1 \). \( y'(1) = 6(1)(1 + 1) = 12 > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-\infty; -1] \) и \( [0; +\infty) \). Функция убывает на интервале \( [-1; 0] \).

Шаг 1: Нахождение области определения.

Функция \( y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 + 4x + 5 \) является многочленом, её область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

Шаг 2: Нахождение первой производной.

\( y' = (\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 4x + 5)' = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 2x + 4 = 2x^2 - 2x + 4 \).

Шаг 3: Нахождение критических точек.

Приравниваем производную к нулю: \( 2x^2 - 2x + 4 = 0 \). Разделим на 2: \( x^2 - x + 2 = 0 \).

Найдем дискриминант квадратного уравнения: \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 \).

Так как дискриминант \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) (\( a=1 \)) положителен, то квадратный трехчлен \( x^2 - x + 2 \) (а значит и производная \( y' = 2x^2 - 2x + 4 \)) всегда положителен для всех \( x \in \mathbb{R} \).

\( y' > 0 \) для всех \( x \in (-\infty; +\infty) \).

Шаг 4: Определение знака производной.

Поскольку \( y' > 0 \) на всей области определения, функция постоянно возрастает.

Ответ: Функция возрастает на всей числовой прямой \( (-\infty; +\infty) \). Убывания нет.

Шаг 1: Нахождение области определения.

Функция \( y = \frac{3}{x} - 1 \) определена при \( x \neq 0 \). Область определения: \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

Шаг 2: Нахождение первой производной.

Перепишем функцию как \( y = 3x^{-1} - 1 \).

\( y' = (3x^{-1} - 1)' = 3 \cdot (-1)x^{-1-1} - 0 = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2} \).

Шаг 3: Нахождение критических точек.

Производная \( y' = -\frac{3}{x^2} \) не равна нулю ни при каком \( x \). Производная не существует при \( x = 0 \), но эта точка не принадлежит области определения функции, поэтому экстремумов нет.

Шаг 4: Определение знака производной.

Так как \( x^2 > 0 \) для всех \( x \neq 0 \), то \( y' = -\frac{3}{x^2} < 0 \) на всей области определения.

Ответ: Функция убывает на интервалах \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \).

Шаг 1: Нахождение области определения.

Функция определена при \( x - 3 \neq 0 \), то есть \( x \neq 3 \). Область определения: \( D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).

Шаг 2: Нахождение первой производной (по правилу частного).

\( y' = \left( \frac{x-2}{x-3} \right)' = \frac{(x-2)'(x-3) - (x-2)(x-3)'}{(x-3)^2} \)

\( y' = \frac{1 \cdot (x-3) - (x-2) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{x-3 - x + 2}{(x-3)^2} = \frac{-1}{(x-3)^2} \).

Шаг 3: Нахождение критических точек.

Производная \( y' = -\frac{1}{(x-3)^2} \) не равна нулю ни при каком \( x \). Производная не существует при \( x = 3 \), но эта точка не входит в область определения. Критических точек нет.

Шаг 4: Определение знака производной.

Так как \( (x-3)^2 > 0 \) для всех \( x \neq 3 \), то \( y' = -\frac{1}{(x-3)^2} < 0 \) на всей области определения.

Ответ: Функция убывает на интервалах \( (-\infty; 3) \) и \( (3; +\infty) \).