ГДЗ: Упражнение 960 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Область определения и четность.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Функция не является ни четной, ни нечетной: \( y(-x) = \frac{(-x)^3}{3} + 3(-x)^2 = -\frac{x^3}{3} + 3x^2 \neq \pm y(x) \).

Шаг 2: Точки пересечения с осями.

• С осью \( Oy \) (\( x=0 \)): \( y(0) = 0 \). Точка \((0; 0)\).
• С осью \( Ox \) (\( y=0 \)): \( \frac{x^3}{3} + 3x^2 = 0 \implies x^2(\frac{x}{3} + 3) = 0 \). Точки \((0; 0)\) и \( \frac{x}{3} = -3 \implies x = -9 \). Точка \((-9; 0)\).

Шаг 3: Исследование на экстремумы и интервалы монотонности.

Производная: \( y' = x^2 + 6x = x(x + 6) \).

Критические точки (\( y'=0 \)): \( x = 0 \) и \( x = -6 \).

• Интервал \( (-\infty; -6) \): \( y' > 0 \) (возрастание).
• Интервал \( (-6; 0) \): \( y' < 0 \) (убывание).
• Интервал \( (0; +\infty) \): \( y' > 0 \) (возрастание).

Экстремумы:

• \( x = -6 \): точка максимума. \( y_{max} = y(-6) = \frac{(-6)^3}{3} + 3(-6)^2 = -72 + 108 = 36 \). Точка \((-6; 36)\).
• \( x = 0 \): точка минимума. \( y_{min} = y(0) = 0 \). Точка \((0; 0)\).

Шаг 4: Исследование на точки перегиба и выпуклость.

Вторая производная: \( y'' = (x^2 + 6x)' = 2x + 6 \).

Точки перегиба (\( y''=0 \)): \( 2x + 6 = 0 \implies x = -3 \).

Значение в точке перегиба: \( y(-3) = \frac{(-3)^3}{3} + 3(-3)^2 = -9 + 27 = 18 \). Точка перегиба \((-3; 18)\).

• Интервал \( (-\infty; -3) \): \( y'' < 0 \) (выпуклость вверх).
• Интервал \( (-3; +\infty) \): \( y'' > 0 \) (выпуклость вниз).

Шаг 5: Построение графика.

Используя найденные точки \((-9; 0)\), \((0; 0)\), точки экстремума \((-6; 36)\), \((0; 0)\) и точку перегиба \((-3; 18)\), а также информацию о монотонности и выпуклости, можно построить график.

Ответ: См. шаги 1-4 и изображение графика.

Шаг 1: Область определения и четность.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

Четность: \( y(-x) = -\frac{(-x)^4}{4} + (-x)^2 = -\frac{x^4}{4} + x^2 = y(x) \). Функция четная, график симметричен относительно оси \( Oy \).

Шаг 2: Точки пересечения с осями.

• С осью \( Oy \) (\( x=0 \)): \( y(0) = 0 \). Точка \((0; 0)\).
• С осью \( Ox \) (\( y=0 \)): \( -\frac{x^4}{4} + x^2 = 0 \implies x^2(1 - \frac{x^2}{4}) = 0 \). Точки \((0; 0)\) и \( 1 - \frac{x^2}{4} = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \). Точки \((-2; 0)\) и \((2; 0)\).

Шаг 3: Исследование на экстремумы и интервалы монотонности.

Производная: \( y' = -x^3 + 2x = x(2 - x^2) \).

Критические точки (\( y'=0 \)): \( x = 0 \) и \( 2 - x^2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2} \).

Точки: \( -\sqrt{2} \approx -1.41 \), \( 0 \), \( \sqrt{2} \approx 1.41 \).

• Интервал \( (-\infty; -\sqrt{2}) \): \( y' > 0 \) (возрастание). (Например, \( x=-2 \), \( y' = -8 + 4 = -4 \cdot (\text{ошибка в расчете}) \). \( y'(-2) = -8 \cdot (2 - 4) = 16 \). (Возрастание).
• Интервал \( (-\sqrt{2}; 0) \): \( y' < 0 \) (убывание).
• Интервал \( (0; \sqrt{2}) \): \( y' > 0 \) (возрастание).
• Интервал \( (\sqrt{2}; +\infty) \): \( y' < 0 \) (убывание).

Экстремумы:

• \( x = \pm \sqrt{2} \): точки максимума. \( y_{max} = y(\pm \sqrt{2}) = -\frac{(\sqrt{2})^4}{4} + (\sqrt{2})^2 = -\frac{4}{4} + 2 = 1 \). Точки \( (-\sqrt{2}; 1) \) и \( (\sqrt{2}; 1) \).
• \( x = 0 \): точка минимума. \( y_{min} = y(0) = 0 \). Точка \((0; 0)\).

Шаг 4: Исследование на точки перегиба и выпуклость.

Вторая производная: \( y'' = (-x^3 + 2x)' = -3x^2 + 2 \).

Точки перегиба (\( y''=0 \)): \( -3x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = \frac{2}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \approx \pm 0.82 \).

Шаг 5: Построение графика.

Используя симметрию, точки \((-2; 0)\), \((0; 0)\), \((2; 0)\), экстремумы, можно построить график.

Ответ: См. шаги 1-4 и изображение графика.