ГДЗ: Упражнение 969 - Параграф Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

969 упражнение:

На рисунке 148 изображен график функции \( y = g(x) \), являющейся производной функции \( y = f(x) \). Найти:

1) интервалы возрастания и убывания функции \( y = f(x) \)

Ответ

Ключевой принцип: Функция \( f(x) \) возрастает, когда её производная \( f'(x) = g(x) > 0 \), и убывает, когда \( f'(x) = g(x) < 0 \).

На графике \( y=g(x) \) (рис. 148а):

\( g(x) > 0 \) (график выше оси \( Ox \)) на интервалах: \( (x_2; x_3) \cup (x_5; x_7) \).
\( g(x) < 0 \) (график ниже оси \( Ox \)) на интервалах: \( (x_1; x_2) \cup (x_3; x_5) \cup (x_7; x_8) \).

Ответ: Функция \( f(x) \) возрастает на интервалах \( [x_2; x_3] \) и \( [x_5; x_7] \). Функция \( f(x) \) убывает на интервалах \( [x_1; x_2] \), \( [x_3; x_5] \) и \( [x_7; x_8] \).

2) точки экстремума функции \( y = f(x) \)

Ответ

Ключевой принцип: Точки экстремума функции \( f(x) \) — это точки, где производная \( g(x) \) равна нулю и меняет знак.

Точки, где \( g(x) = 0 \): \( x_1, x_2, x_3, x_5, x_7, x_8 \).

\( x_1 \): \( g(x) \) меняет знак с \(+\) на \(-\). Это точка максимума. (Начало интервала, но экстремум, если рассматривать отрезок).
\( x_2 \): \( g(x) \) меняет знак с \(-\) на \(+\). Это точка минимума.
\( x_3 \): \( g(x) \) меняет знак с \(+\) на \(-\). Это точка максимума.
\( x_5 \): \( g(x) \) меняет знак с \(-\) на \(+\). Это точка минимума.
\( x_7 \): \( g(x) \) меняет знак с \(+\) на \(-\). Это точка максимума.
\( x_8 \): \( g(x) \) не меняет знак (она уходит в \(-\), то есть функция убывает), но это конец отрезка.

Ответ: Точки максимума \( x_1, x_3, x_7 \). Точки минимума \( x_2, x_5 \).

3) точки перегиба функции \( y = f(x) \)

Ответ

Ключевой принцип: Точки перегиба функции \( f(x) \) — это точки, где вторая производная \( f''(x) \) равна нулю и меняет знак. Вторая производная \( f''(x) \) является производной от \( g(x) \), то есть это точки экстремума функции \( g(x) \).

Точки экстремума на графике \( y=g(x) \) (точки, где касательная к \( g(x) \) горизонтальна): \( x_4 \) и \( x_6 \).

\( x_4 \): \( g(x) \) достигает локального минимума, \( g'(x) \) меняет знак с \(-\) на \(+\). Это точка перегиба для \( f(x) \).
\( x_6 \): \( g(x) \) достигает локального максимума, \( g'(x) \) меняет знак с \(+\) на \(-\). Это точка перегиба для \( f(x) \).

Ответ: Точки перегиба \( x_4, x_6 \).

Что применять при решении

Интервалы возрастания и убывания

Интервалы возрастания функции \( f(x) \) находятся там, где её первая производная \( f'(x) > 0 \). Интервалы убывания — где \( f'(x) < 0 \).

Возрастание: \( f'(x) > 0 \); Убывание: \( f'(x) < 0 \)

Точки экстремума

Точки экстремума — это критические точки, в которых производная меняет знак. Если знак меняется с '+' на '-', то это максимум; если с '-' на '+', то это минимум.

Критические точки: \( f'(x) = 0 \text{ или } f'(x) \text{ не существует} \)

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Для функции \( f(x) \) на отрезке \( [a; b] \) наибольшее/наименьшее значение достигается либо в критических точках внутри отрезка, либо на его концах \( f(a) \) и \( f(b) \).

\( \max / \min f(x) \in \{ f(x_c), f(a), f(b) \}, \text{ где } x_c \text{ - критическая точка} \)

Точки перегиба

Точки, в которых вторая производная \( f''(x) \) равна нулю или не существует, и при этом \( f''(x) \) меняет знак.

\( f''(x) = 0 \text{ или } f''(x) \text{ не существует и меняет знак} \)

Производная степенной функции

Правило дифференцирования степенной функции.

\( (x^n)' = n x^{n-1} \)

Производная сложной функции (цепное правило)

Производная сложной функции \( f(g(x)) \).

\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

Другие упражнения из параграфа Глава 9

956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 9
Параграф: Глава 9 — Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.