ГДЗ: Упражнение 959 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение первой производной и критических точек.

\( y' = (x^5 - 2,5x^2 + 3)' = 5x^4 - 5x \).

Приравниваем к нулю: \( 5x^4 - 5x = 0 \).

\( 5x(x^3 - 1) = 0 \).

Критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x_2 = 1 \).

Шаг 2: Исследование знака производной.

Исследуем знак \( y' = 5x(x^3 - 1) \).

• Интервал \( (-\infty; 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( y'(-1) = 5(-1)((-1)^3 - 1) = -5(-2) = 10 > 0 \). (Возрастание).
• Интервал \( (0; 1) \): Возьмем \( x = 0.5 \). \( y'(0.5) = 5(0.5)((0.5)^3 - 1) = 2.5(0.125 - 1) = 2.5(-0.875) < 0 \). (Убывание).
• Интервал \( (1; +\infty) \): Возьмем \( x = 2 \). \( y'(2) = 5(2)(2^3 - 1) = 10(7) = 70 > 0 \). (Возрастание).

Шаг 3: Определение точек экстремума и значений функции.

• При \( x = 0 \): знак меняется с \(+\) на \(-\). \( x = 0 \) — точка максимума.
• Значение в точке максимума: \( y_{max} = y(0) = 0^5 - 2,5(0)^2 + 3 = 3 \).
• При \( x = 1 \): знак меняется с \(-\) на \(+\). \( x = 1 \) — точка минимума.
• Значение в точке минимума: \( y_{min} = y(1) = 1^5 - 2,5(1)^2 + 3 = 1 - 2.5 + 3 = 1.5 \).

Ответ: Точка максимума \( x = 0 \), \( y_{max} = 3 \). Точка минимума \( x = 1 \), \( y_{min} = 1.5 \).

Шаг 1: Нахождение первой производной и критических точек.

\( y' = (0,2x^5 - 4x^2 - 3)' = 0,2 \cdot 5x^4 - 4 \cdot 2x = x^4 - 8x \).

Приравниваем к нулю: \( x^4 - 8x = 0 \).

\( x(x^3 - 8) = 0 \).

Критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x^3 - 8 = 0 \implies x^3 = 8 \implies x_2 = 2 \).

Шаг 2: Исследование знака производной.

Исследуем знак \( y' = x(x^3 - 8) \).

• Интервал \( (-\infty; 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( y'(-1) = (-1)((-1)^3 - 8) = (-1)(-9) = 9 > 0 \). (Возрастание).
• Интервал \( (0; 2) \): Возьмем \( x = 1 \). \( y'(1) = 1(1^3 - 8) = 1(-7) = -7 < 0 \). (Убывание).
• Интервал \( (2; +\infty) \): Возьмем \( x = 3 \). \( y'(3) = 3(3^3 - 8) = 3(27 - 8) = 3(19) = 57 > 0 \). (Возрастание).

Шаг 3: Определение точек экстремума и значений функции.

• При \( x = 0 \): знак меняется с \(+\) на \(-\). \( x = 0 \) — точка максимума.
• Значение в точке максимума: \( y_{max} = y(0) = 0,2(0)^5 - 4(0)^2 - 3 = -3 \).
• При \( x = 2 \): знак меняется с \(-\) на \(+\). \( x = 2 \) — точка минимума.
• Значение в точке минимума: \( y_{min} = y(2) = 0,2(2)^5 - 4(2)^2 - 3 = 0,2(32) - 4(4) - 3 = 6.4 - 16 - 3 = -12.6 \).

Ответ: Точка максимума \( x = 0 \), \( y_{max} = -3 \). Точка минимума \( x = 2 \), \( y_{min} = -12.6 \).