ГДЗ: Упражнение 967 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение области определения.

Функция \( y = x(1 + 2 \sqrt{x}) = x + 2x \sqrt{x} = x + 2x^{3/2} \). Область определения определяется выражением \( \sqrt{x} \), то есть \( x \geq 0 \). \( D(y) = [0; +\infty) \).

Шаг 2: Нахождение первой производной.

\( y' = (x + 2x^{3/2})' = 1 + 2 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} = 1 + 3 x^{1/2} = 1 + 3 \sqrt{x} \).

Шаг 3: Доказательство, что \( y' > 0 \) для всех \( x \) из области определения.

На области определения \( x \geq 0 \), выражение \( \sqrt{x} \geq 0 \).

Следовательно, \( 3 \sqrt{x} \geq 0 \), и \( y' = 1 + 3 \sqrt{x} \geq 1 \).

Так как \( y' > 0 \) для всех \( x \in (0; +\infty) \) и \( y'(0) = 1 \), производная положительна на всей области определения \( [0; +\infty) \).

Вывод: Поскольку производная функции положительна на всей области определения, функция возрастает на всей области определения.

Ответ: Доказано (см. шаги 1-3).