ГДЗ: Упражнение 957 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение первой производной.

\( y' = (x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 1)' = 4x^3 - 12x^2 - 16x \).

Шаг 2: Нахождение стационарных точек.

Стационарные точки - это точки, где \( y' = 0 \).

\( 4x^3 - 12x^2 - 16x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( 4x \):

\( 4x(x^2 - 3x - 4) = 0 \)

Отсюда следует, что \( x_1 = 0 \) или \( x^2 - 3x - 4 = 0 \).

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \).

\( x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 \pm 5}{2} \).

\( x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \)

\( x_3 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \)

Ответ: Стационарные точки функции: \( x = -1 \), \( x = 0 \), \( x = 4 \).

Шаг 1: Нахождение первой производной.

\( y' = (4x^4 - 2x^2 + 3)' = 16x^3 - 4x \).

Шаг 2: Нахождение стационарных точек.

Приравниваем производную к нулю: \( y' = 0 \).

\( 16x^3 - 4x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( 4x \):

\( 4x(4x^2 - 1) = 0 \)

Отсюда следует, что \( x_1 = 0 \) или \( 4x^2 - 1 = 0 \).

Решаем \( 4x^2 = 1 \), то есть \( x^2 = \frac{1}{4} \).

\( x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \), то есть \( x_2 = \frac{1}{2} \) и \( x_3 = -\frac{1}{2} \).

Ответ: Стационарные точки функции: \( x = -\frac{1}{2} \), \( x = 0 \), \( x = \frac{1}{2} \).

Шаг 1: Нахождение области определения.

Функция определена при \( x \neq 0 \).

Шаг 2: Нахождение первой производной.

Перепишем как \( y = x - 12x^{-1} \).

\( y' = (x - 12x^{-1})' = 1 - 12 \cdot (-1)x^{-2} = 1 + 12x^{-2} = 1 + \frac{12}{x^2} \).

Шаг 3: Нахождение стационарных точек.

Приравниваем производную к нулю: \( y' = 0 \).

\( 1 + \frac{12}{x^2} = 0 \)

\( \frac{12}{x^2} = -1 \)

\( 12 = -x^2 \)

\( x^2 = -12 \)

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Значит, стационарных точек нет.

Ответ: Стационарных точек нет.

Шаг 1: Нахождение первой производной.

Используем правило дифференцирования тригонометрических и сложной функций:

\( y' = (\cos 2x + 2 \cos x)' = (\cos 2x)' + (2 \cos x)' \)

\( y' = -\sin(2x) \cdot (2x)' + 2 \cdot (-\sin x) = -2 \sin 2x - 2 \sin x \).

Шаг 2: Нахождение стационарных точек.

Приравниваем производную к нулю: \( y' = 0 \).

\( -2 \sin 2x - 2 \sin x = 0 \)

Разделим на -2:

\( \sin 2x + \sin x = 0 \)

Используем формулу двойного угла: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).

\( 2 \sin x \cos x + \sin x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( \sin x \):

\( \sin x (2 \cos x + 1) = 0 \)

Уравнение равносильно двум случаям:

1. \( \sin x = 0 \). Решение: \( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

2. \( 2 \cos x + 1 = 0 \), то есть \( \cos x = -\frac{1}{2} \). Решение: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: Стационарные точки функции: \( x = \pi k \) и \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).