ГДЗ: Упражнение 958 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение первой производной и критических точек.

\( y' = (x^3 - 4x^2)' = 3x^2 - 8x \).

Приравниваем к нулю: \( 3x^2 - 8x = 0 \).

\( x(3x - 8) = 0 \).

Критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = \frac{8}{3} \).

Шаг 2: Исследование знака производной (метод интервалов).

Разобьем числовую прямую точками \( 0 \) и \( \frac{8}{3} \approx 2.67 \) на интервалы: \( (-\infty; 0) \), \( (0; \frac{8}{3}) \), \( (\frac{8}{3}; +\infty) \). Исследуем знак \( y' = x(3x - 8) \).

• Интервал \( (-\infty; 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( y'(-1) = (-1)(3(-1) - 8) = (-1)(-11) = 11 > 0 \). (Возрастание).
• Интервал \( (0; \frac{8}{3}) \): Возьмем \( x = 1 \). \( y'(1) = (1)(3(1) - 8) = 1(-5) = -5 < 0 \). (Убывание).
• Интервал \( (\frac{8}{3}; +\infty) \): Возьмем \( x = 3 \). \( y'(3) = (3)(3(3) - 8) = 3(1) = 3 > 0 \). (Возрастание).

Шаг 3: Определение точек экстремума.

• При переходе через \( x = 0 \) производная меняет знак с \(+\) на \(-\). Значит, \( x = 0 \) — точка максимума.
• При переходе через \( x = \frac{8}{3} \) производная меняет знак с \(-\) на \(+\). Значит, \( x = \frac{8}{3} \) — точка минимума.

Ответ: Точка максимума \( x = 0 \). Точка минимума \( x = \frac{8}{3} \).

Шаг 1: Нахождение первой производной и критических точек.

\( y' = (3x^4 - 4x^3)' = 12x^3 - 12x^2 \).

Приравниваем к нулю: \( 12x^3 - 12x^2 = 0 \).

\( 12x^2(x - 1) = 0 \).

Критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1 \).

Шаг 2: Исследование знака производной.

Исследуем знак \( y' = 12x^2(x - 1) \). Так как \( 12x^2 \geq 0 \), знак \( y' \) определяется знаком множителя \( (x - 1) \).

• Интервал \( (-\infty; 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( y'(-1) = 12(-1)^2(-1 - 1) = 12(1)(-2) = -24 < 0 \). (Убывание).
• Интервал \( (0; 1) \): Возьмем \( x = 0.5 \). \( y'(0.5) = 12(0.5)^2(0.5 - 1) = 12(0.25)(-0.5) = -1.5 < 0 \). (Убывание).
• Интервал \( (1; +\infty) \): Возьмем \( x = 2 \). \( y'(2) = 12(2)^2(2 - 1) = 48(1) = 48 > 0 \). (Возрастание).

Шаг 3: Определение точек экстремума.

• При переходе через \( x = 0 \) производная не меняет знак (остается отрицательной). Значит, \( x = 0 \) — не является точкой экстремума.
• При переходе через \( x = 1 \) производная меняет знак с \(-\) на \(+\). Значит, \( x = 1 \) — точка минимума.

Ответ: Точка минимума \( x = 1 \).