ГДЗ: Упражнение 970 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Область определения и четность.

\( D(y) \): \( x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2 \). \( D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty) \).

Четность: \( y(-x) = \frac{2}{(-x)^2 - 4} = \frac{2}{x^2 - 4} = y(x) \). Функция четная, график симметричен относительно оси \( Oy \).

Шаг 2: Асимптоты.

• Вертикальные асимптоты: \( x = -2 \) и \( x = 2 \).
• Горизонтальная асимптота: \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2}{x^2 - 4} = 0 \). Асимптота \( y = 0 \).

Шаг 3: Исследование на экстремумы и монотонность.

Производная: \( y' = \left( 2(x^2 - 4)^{-1} \right)' = 2(-1)(x^2 - 4)^{-2} \cdot 2x = -\frac{4x}{(x^2 - 4)^2} \).

Критическая точка (\( y'=0 \)): \( -4x = 0 \implies x = 0 \).

• Интервал \( (0; 2) \cup (2; +\infty) \): \( y' < 0 \) (убывание).
• Интервал \( (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \): \( y' > 0 \) (возрастание). (Благодаря симметрии).

Экстремум: \( x=0 \) — точка максимума. \( y_{max} = y(0) = \frac{2}{0 - 4} = -0.5 \). Точка \((0; -0.5)\).

Шаг 4: Построение графика.

Используя асимптоты \( x=\pm 2, y=0 \), точку максимума \((0; -0.5)\), и симметрию, строим график.

Ответ: См. шаги 1-3 и изображение графика.

Шаг 1: Область определения и четность.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Функция четная.

Шаг 2: Асимптоты.

• Вертикальных асимптот нет (\( x^2 + 4 > 0 \)).
• Горизонтальная асимптота: \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2}{x^2 + 4} = 0 \). Асимптота \( y = 0 \).

Шаг 3: Исследование на экстремумы и монотонность.

Производная: \( y' = \left( 2(x^2 + 4)^{-1} \right)' = 2(-1)(x^2 + 4)^{-2} \cdot 2x = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^2} \).

Критическая точка: \( x = 0 \).

• Интервал \( (0; +\infty) \): \( y' < 0 \) (убывание).
• Интервал \( (-\infty; 0) \): \( y' > 0 \) (возрастание).

Экстремум: \( x=0 \) — точка максимума. \( y_{max} = y(0) = \frac{2}{0 + 4} = 0.5 \). Точка \((0; 0.5)\).

Шаг 4: Построение графика.

График симметричен, имеет максимум \((0; 0.5)\) и стремится к асимптоте \( y=0 \).

Ответ: См. шаги 1-3 и изображение графика.

Шаг 1: Область определения и точки пересечения.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Пересечение с \( Ox \) (\( y=0 \)): \( x=1 \) и \( x=-2 \). Пересечение с \( Oy \) (\( x=0 \)): \( y(0) = (0-1)^2(0+2) = 2 \).

Шаг 2: Исследование на экстремумы и монотонность.

Раскроем скобки: \( y = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + x + 2 = x^3 - 3x + 2 \).

Производная: \( y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1) \).

Критические точки (\( y'=0 \)): \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

• Интервал \( (-\infty; -1) \): \( y' > 0 \) (возрастание).
• Интервал \( (-1; 1) \): \( y' < 0 \) (убывание).
• Интервал \( (1; +\infty) \): \( y' > 0 \) (возрастание).

Экстремумы:

• \( x = -1 \): точка максимума. \( y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \). Точка \((-1; 4)\).
• \( x = 1 \): точка минимума. \( y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \). Точка \((1; 0)\).

Шаг 3: Построение графика.

Используя точки \((-2; 0)\), \((1; 0)\), \((0; 2)\) и экстремумы \((-1; 4)\) и \((1; 0)\), строим график.

Ответ: См. шаги 1-2 и изображение графика.

Шаг 1: Область определения и точки пересечения.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Пересечение с \( Ox \) (\( y=0 \)): \( x=0 \) и \( x=1 \). Пересечение с \( Oy \) (\( x=0 \)): \( y(0) = 0 \).

Шаг 2: Исследование на экстремумы и монотонность.

Производная (правило произведения): \( y' = (x)' (x - 1)^3 + x ( (x - 1)^3 )' \)

\( y' = 1 \cdot (x - 1)^3 + x \cdot 3(x - 1)^2 \cdot 1 \)

Вынесем \( (x - 1)^2 \): \( y' = (x - 1)^2 [ (x - 1) + 3x ] = (x - 1)^2 (4x - 1) \).

Критические точки: \( x = 1 \) и \( 4x - 1 = 0 \implies x = 1/4 \).

• Интервал \( (-\infty; 1/4) \): \( (x - 1)^2 > 0 \), \( 4x - 1 < 0 \). \( y' < 0 \) (убывание).
• Интервал \( (1/4; 1) \): \( (x - 1)^2 > 0 \), \( 4x - 1 > 0 \). \( y' > 0 \) (возрастание). (Ошибка: \( (x-1)^2 \) всегда положителен, кроме \( x=1 \). Если \( x=0.5 \), \( x-1 = -0.5 \), \( (x-1)^2 > 0 \). \( 4x-1 = 2-1=1>0 \). \( y' > 0 \).)

  Исправим:

  • Интервал \( (-\infty; 1/4) \): \( y' < 0 \) (убывание).
  • Интервал \( (1/4; 1) \): \( y' > 0 \) (возрастание).
  • Интервал \( (1; +\infty) \): \( y' > 0 \) (возрастание).

  Экстремумы:

  • При \( x = 1/4 \): знак меняется с \(-\) на \(+\). \( x = 1/4 \) — точка минимума.
  • \( y_{min} = y(1/4) = \frac{1}{4} (\frac{1}{4} - 1)^3 = \frac{1}{4} (-\frac{3}{4})^3 = \frac{1}{4} \cdot (-\frac{27}{64}) = -\frac{27}{256} \approx -0.1 \).
  • При \( x = 1 \): знак не меняется. Не экстремум.

  Шаг 3: Построение графика.

  График имеет минимум в \((1/4; -27/256)\) и проходит через \((0; 0)\) и \((1; 0)\).

  Ответ: См. шаги 1-2 и изображение графика.