Шаг 1: Нахождение области определения.
Функция \( y = 1,8x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 7x + 12,5 \) является многочленом, область определения \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
Шаг 2: Нахождение первой производной.
\( y' = (1,8x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 7x + 12,5)' = 1,8 \cdot 5x^4 - \frac{2}{3} \cdot 3x^2 + 7 \)
\( y' = 9x^4 - 2x^2 + 7 \).
Шаг 3: Доказательство, что \( y' > 0 \) для всех \( x \).
Производная \( y' \) является биквадратным трехчленом. Сделаем замену \( t = x^2 \). Так как \( x^2 \geq 0 \), то \( t \geq 0 \).
Получаем квадратный трехчлен относительно \( t \): \( g(t) = 9t^2 - 2t + 7 \).
Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(9)(7) = 4 - 252 = -248 \).
Так как дискриминант \( D < 0 \) и коэффициент при \( t^2 \) (\( a=9 \)) положителен, квадратный трехчлен \( g(t) \) (и, следовательно, производная \( y' \)) всегда положителен для всех действительных значений \( t \), то есть для всех \( x \in \mathbb{R} \).
\( y' = 9x^4 - 2x^2 + 7 > 0 \) для всех \( x \in (-\infty; +\infty) \).
Вывод: Поскольку производная функции строго положительна на всей области определения, функция возрастает на всей области определения.
Ответ: Доказано (см. шаги 1-3).