Шаг 1: Составление функции для минимизации.
Пусть стороны прямоугольника равны \( x \) и \( y \). Периметр \( P \) задан и постоянен:
\( P = 2(x + y) \), откуда \( y = \frac{P}{2} - x \). Обозначим \( \frac{P}{2} = L \), тогда \( y = L - x \).
Диагональ прямоугольника \( d \) по теореме Пифагора: \( d = \sqrt{x^2 + y^2} \).
Минимизация \( d \) эквивалентна минимизации \( d^2 = x^2 + y^2 \). Пусть \( f(x) = d^2 \).
Подставляем \( y = L - x \): \( f(x) = x^2 + (L - x)^2 \).
Шаг 2: Нахождение первой производной.
\( f'(x) = (x^2 + (L - x)^2)' = 2x + 2(L - x) \cdot (L - x)' = 2x + 2(L - x) \cdot (-1) \)
\( f'(x) = 2x - 2L + 2x = 4x - 2L \).
Шаг 3: Нахождение критической точки.
Приравниваем производную к нулю: \( f'(x) = 0 \).
\( 4x - 2L = 0 \implies x = \frac{2L}{4} = \frac{L}{2} \).
Подставляем обратно \( L = \frac{P}{2} \): \( x = \frac{P}{4} \).
Шаг 4: Проверка, что это минимум (с помощью второй производной).
Вторая производная: \( f''(x) = (4x - 2L)' = 4 \).
Так как \( f''(x) = 4 > 0 \), в точке \( x = \frac{L}{2} \) функция \( f(x) = d^2 \) имеет минимум.
Шаг 5: Определение формы прямоугольника.
Если \( x = \frac{L}{2} \), то \( y = L - x = L - \frac{L}{2} = \frac{L}{2} \).
Следовательно, \( x = y \), то есть прямоугольник является квадратом.
Вывод: Диагональ \( d \) минимальна, когда стороны прямоугольника равны, т.е., когда он является квадратом.
Ответ: Доказано, что наименьшую диагональ имеет квадрат.