Шаг 1: Составление функции для оптимизации.
Пусть катеты равны \( a \) и \( b \), гипотенуза \( c \). По условию \( a + c = l \), откуда \( c = l - a \).
По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
\( b^2 = c^2 - a^2 = (l - a)^2 - a^2 = l^2 - 2al + a^2 - a^2 = l^2 - 2al \).
Площадь треугольника \( S \) (максимизируем): \( S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} a \sqrt{l^2 - 2al} \).
Максимизация \( S \) эквивалентна максимизации \( S^2 \). Пусть \( f(a) = S^2 \):
\( f(a) = \frac{1}{4} a^2 (l^2 - 2al) = \frac{1}{4} (l^2 a^2 - 2l a^3) \).
Ограничения: \( a > 0 \), \( b > 0 \implies l^2 - 2al > 0 \implies l^2 > 2al \implies a < l/2 \).
Шаг 2: Нахождение первой производной \( f'(a) \).
\( f'(a) = \frac{1}{4} (2l^2 a - 6l a^2) \).
Шаг 3: Нахождение критической точки.
Приравниваем производную к нулю: \( \frac{1}{4} (2l^2 a - 6l a^2) = 0 \).
\( 2l a (l - 3a) = 0 \).
Так как \( l \neq 0 \) и \( a \neq 0 \), то \( l - 3a = 0 \implies a = l/3 \).
Проверка: \( a = l/3 \) находится в области определения \( 0 < a < l/2 \).
Шаг 4: Определение формы треугольника (или его сторон).
При \( a = l/3 \):
- Катет \( a = l/3 \).
- Гипотенуза \( c = l - a = l - l/3 = 2l/3 \).
- Катет \( b^2 = l^2 - 2al = l^2 - 2l(l/3) = l^2 - 2l^2/3 = l^2/3 \implies b = l/\sqrt{3} = l\sqrt{3}/3 \).
Проверка: \( f'(a) = \frac{l}{2} a (l - 3a) \). Так как \( l, a > 0 \), знак \( f'(a) \) меняется с \(+\) на \(-\) при \( a = l/3 \), следовательно, это максимум.
Ответ: Наибольшую площадь имеет треугольник с катетом \( a = l/3 \), гипотенузой \( c = 2l/3 \) и вторым катетом \( b = l\sqrt{3}/3 \).