Шаг 1: Нахождение области определения.
Знаменатель \( x^2 + 3x + 2 = 0 \implies (x+1)(x+2) = 0 \). \( x \neq -1, x \neq -2 \).
Числитель \( x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2) = 0 \). \( x=1, x=2 \).
Шаг 2: Нахождение первой производной (правило частного).
Пусть \( u = x^2 - 3x + 2 \) и \( v = x^2 + 3x + 2 \). \( u' = 2x - 3 \) и \( v' = 2x + 3 \).
\( y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(2x - 3)(x^2 + 3x + 2) - (x^2 - 3x + 2)(2x + 3)}{(x^2 + 3x + 2)^2} \).
Упростим числитель \( N \):
\( N = (2x^3 + 6x^2 + 4x - 3x^2 - 9x - 6) - (2x^3 + 3x^2 - 6x^2 - 9x + 4x + 6) \)
\( N = (2x^3 + 3x^2 - 5x - 6) - (2x^3 - 3x^2 - 5x + 6) \)
\( N = 2x^3 + 3x^2 - 5x - 6 - 2x^3 + 3x^2 + 5x - 6 \)
\( N = 6x^2 - 12 \).
Производная: \( y' = \frac{6x^2 - 12}{(x^2 + 3x + 2)^2} = \frac{6(x^2 - 2)}{(x+1)^2 (x+2)^2} \).
Шаг 3: Нахождение критических точек.
Приравниваем числитель к нулю: \( 6(x^2 - 2) = 0 \implies x^2 = 2 \).
Критические точки: \( x_1 = -\sqrt{2} \approx -1.41 \) и \( x_2 = \sqrt{2} \approx 1.41 \). Обе принадлежат области определения.
Шаг 4: Исследование знака производной.
Знак \( y' \) определяется знаком числителя \( x^2 - 2 \), так как знаменатель всегда положителен (кроме \( x=-1, x=-2 \)).
Корни числителя: \( -\sqrt{2} \) и \( \sqrt{2} \). \( x^2 - 2 \) — парабола, ветви вверх.
- Интервалы: \( (-\infty; -2) \), \( (-2; -\sqrt{2}) \), \( (-\sqrt{2}; -1) \), \( (-1; \sqrt{2}) \), \( (\sqrt{2}; +\infty) \).
- При \( x < -\sqrt{2} \): \( y' > 0 \) (возрастание).
- При \( -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \) (\( x \neq -1 \)): \( y' < 0 \) (убывание).
- При \( x > \sqrt{2} \): \( y' > 0 \) (возрастание).
Шаг 5: Определение точек экстремума.
- При \( x = -\sqrt{2} \): знак меняется с \(+\) на \(-\). Это точка максимума (внимание: \( -\sqrt{2} \approx -1.41 \), поэтому \( -2 < -\sqrt{2} < -1 \). Я неправильно определил знак! Проверим: \( x=-1.5 \). \( x^2 - 2 = 2.25 - 2 = 0.25 > 0 \). Знак не меняется с \(-\) на \(+\).)
Исправленный анализ знаков \( y' \) вблизи \( x=-\sqrt{2} \) и \( x=\sqrt{2} \):
Критические точки: \( -\sqrt{2} \approx -1.41 \) и \( \sqrt{2} \approx 1.41 \). Точки разрыва: \( -2 \) и \( -1 \).
Последовательность на оси: \( -2, -\sqrt{2}, -1, \sqrt{2} \).
- \( (-2; -\sqrt{2}) \): Возьмем \( x=-1.5 \). \( x^2 - 2 = 0.25 > 0 \). \( y' > 0 \). (Возрастание).
- \( (-\sqrt{2}; -1) \): Возьмем \( x=-1.2 \). \( x^2 - 2 = 1.44 - 2 = -0.56 < 0 \). \( y' < 0 \). (Убывание).
При \( x = -\sqrt{2} \): знак меняется с \(+\) на \(-\). Это точка максимума.
- \( (-1; \sqrt{2}) \): Возьмем \( x=0 \). \( x^2 - 2 = -2 < 0 \). \( y' < 0 \). (Убывание).
- \( (\sqrt{2}; +\infty) \): Возьмем \( x=2 \). \( x^2 - 2 = 2 > 0 \). \( y' > 0 \). (Возрастание).
При \( x = \sqrt{2} \): знак меняется с \(-\) на \(+\). Это точка минимума.
Ответ: Точка максимума \( x = -\sqrt{2} \). Точка минимума \( x = \sqrt{2} \).