Шаг 1: Составление функции для оптимизации.
Обозначим радиус основания цилиндра \( r \), а высоту \( h \). Объем цилиндра: \( V = \pi r^2 h \).
Осевое сечение — прямоугольник со сторонами \( 2r \) (диаметр) и \( h \) (высота). Периметр осевого сечения: \( P = 2(2r + h) \).
По условию \( P = p \): \( p = 4r + 2h \implies 2h = p - 4r \implies h = \frac{p - 4r}{2} \).
Ограничения: \( r > 0 \) и \( h > 0 \implies p - 4r > 0 \implies r < p/4 \). \( 0 < r < p/4 \).
Подставим \( h \) в формулу объема \( V(r) \):
\( V(r) = \pi r^2 \left( \frac{p - 4r}{2} \right) = \frac{\pi}{2} (p r^2 - 4r^3) \).
Шаг 2: Нахождение первой производной \( V'(r) \).
\( V'(r) = \frac{\pi}{2} (2pr - 12r^2) \).
Шаг 3: Нахождение критической точки.
Приравниваем производную к нулю: \( V'(r) = 0 \).
\( 2pr - 12r^2 = 0 \).
\( 2r (p - 6r) = 0 \).
Так как \( r \neq 0 \), то \( p - 6r = 0 \implies r = p/6 \).
Проверка: \( r = p/6 \) находится в области определения \( 0 < r < p/4 \) (так как \( 1/6 < 1/4 \)).
Шаг 4: Проверка, что это максимум.
Вторая производная: \( V''(r) = \frac{\pi}{2} (2p - 24r) \).
В критической точке \( r = p/6 \): \( V''(p/6) = \frac{\pi}{2} (2p - 24(p/6)) = \frac{\pi}{2} (2p - 4p) = -\pi p < 0 \). Это максимум.
Шаг 5: Нахождение наибольшего объема.
При \( r = p/6 \):
Высота: \( h = \frac{p - 4(p/6)}{2} = \frac{p - 2p/3}{2} = \frac{p/3}{2} = p/6 \).
Наибольший объем: \( V_{max} = \pi r^2 h = \pi (p/6)^2 (p/6) = \frac{\pi p^3}{216} \).
Ответ: Наибольший объем равен \( \frac{\pi p^3}{216} \).