Шаг 1: Составление уравнения движения.
Пусть \( F \) — сила, приложенная под углом \( \alpha \) к горизонтальной плоскости. \( m \) — масса груза, \( g \) — ускорение свободного падения, \( N \) — сила нормальной реакции опоры, \( F_{тр} \) — сила трения скольжения, \( k \) — коэффициент трения.
Сила \( F \) раскладывается на горизонтальную \( F_x = F \cos \alpha \) и вертикальную \( F_y = F \sin \alpha \).
Для сдвига с места требуется, чтобы горизонтальная сила преодолела силу трения покоя (которая максимальна при сдвиге): \( F \cos \alpha = F_{тр} \).
Сила трения \( F_{тр} = k N \). Сила нормальной реакции \( N \) равна весу тела \( mg \) минус вертикальная составляющая приложенной силы \( F_y \): \( N = mg - F \sin \alpha \).
Уравнение движения: \( F \cos \alpha = k (mg - F \sin \alpha) \).
Шаг 2: Выражение силы \( F \) через угол \( \alpha \).
\( F \cos \alpha = k mg - k F \sin \alpha \)
\( F (\cos \alpha + k \sin \alpha) = k mg \)
\( F(\alpha) = \frac{k mg}{\cos \alpha + k \sin \alpha} \).
Минимальное значение \( F(\alpha) \) достигается, когда знаменатель \( G(\alpha) = \cos \alpha + k \sin \alpha \) имеет максимальное значение.
Шаг 3: Нахождение максимума знаменателя \( G(\alpha) \).
Находим производную \( G'(\alpha) \):
\( G'(\alpha) = (\cos \alpha + k \sin \alpha)' = -\sin \alpha + k \cos \alpha \).
Приравниваем к нулю: \( G'(\alpha) = 0 \).
\( -\sin \alpha + k \cos \alpha = 0 \)
\( k \cos \alpha = \sin \alpha \)
Поскольку \( \cos \alpha \neq 0 \) (иначе \( \sin \alpha = 0 \) и \( 1=0 \)), делим на \( \cos \alpha \):
\( k = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha \).
Критическая точка: \( \alpha_0 = \arctan k \).
Шаг 4: Проверка, что это максимум.
Вторая производная: \( G''(\alpha) = -\cos \alpha - k \sin \alpha = -(\cos \alpha + k \sin \alpha) = -G(\alpha) \).
Так как \( \alpha \) — угол, который нужно приложить для сдвига, \( F > 0 \), поэтому \( G(\alpha) > 0 \).
Следовательно, \( G''(\alpha_0) = -G(\alpha_0) < 0 \). Это максимум.
Вывод: Минимальная сила \( F \) будет приложена под углом \( \alpha \), тангенс которого равен коэффициенту трения \( k \).
Ответ: Угол, при котором величина силы будет наименьшей, равен \( \alpha = \arctan k \).