Шаг 1: Составление функции для оптимизации.
Пусть сторона квадрата в основании равна \( a \), а высота параллелепипеда равна \( h \). Объем \( V \) (который нужно максимизировать) равен:
\( V = a^2 h \).
Площадь полной поверхности \( S \) задана: \( S = 2 S_{осн} + S_{бок} \).
\( S = 2a^2 + 4ah \).
По условию \( S = 600 \): \( 600 = 2a^2 + 4ah \).
Выразим \( h \) через \( a \): \( 4ah = 600 - 2a^2 \implies h = \frac{600 - 2a^2}{4a} = \frac{300 - a^2}{2a} \).
Подставим \( h \) в формулу объема \( V(a) \):
\( V(a) = a^2 \cdot \frac{300 - a^2}{2a} = \frac{a(300 - a^2)}{2} = 150a - \frac{1}{2}a^3 \).
Ограничения: \( a > 0 \) и \( h > 0 \), т.е. \( 300 - a^2 > 0 \implies a^2 < 300 \implies 0 < a < \sqrt{300} \approx 17.32 \).
Шаг 2: Нахождение первой производной \( V'(a) \).
\( V'(a) = (150a - \frac{1}{2}a^3)' = 150 - \frac{3}{2}a^2 \).
Шаг 3: Нахождение критической точки.
Приравниваем производную к нулю: \( V'(a) = 0 \).
\( 150 - \frac{3}{2}a^2 = 0 \implies \frac{3}{2}a^2 = 150 \implies a^2 = 100 \).
Поскольку \( a > 0 \), критическая точка: \( a = 10 \).
Проверка: \( a=10 \) находится в области определения \( 0 < a < \sqrt{300} \).
Шаг 4: Проверка, что это максимум.
Вторая производная: \( V''(a) = (150 - \frac{3}{2}a^2)' = -3a \).
В точке \( a=10 \): \( V''(10) = -3(10) = -30 < 0 \). Это означает, что \( a=10 \) — точка максимума.
Шаг 5: Определение размеров параллелепипеда.
При \( a = 10 \text{ см} \):
\( h = \frac{300 - 10^2}{2(10)} = \frac{300 - 100}{20} = \frac{200}{20} = 10 \text{ см} \).
Поскольку \( a = h = 10 \text{ см} \), параллелепипед с наибольшим объемом — куб.
Максимальный объем: \( V = 10^2 \cdot 10 = 1000 \text{ см}^3 \).
Ответ: Параллелепипед наибольшего объема имеет форму куба со стороной 10 см. Максимальный объем 1000 см\(^3\).