Шаг 1: Составление функции для оптимизации.
Пусть катеты равны \( a \) и \( b \). По условию \( a + b = 40 \), откуда \( b = 40 - a \).
Площадь треугольника \( S \) (максимизируем): \( S = \frac{1}{2} a b \).
Подставляем \( b \): \( S(a) = \frac{1}{2} a (40 - a) = 20a - \frac{1}{2}a^2 \).
Ограничения: \( a > 0 \) и \( b > 0 \implies 40 - a > 0 \implies a < 40 \). \( 0 < a < 40 \).
Шаг 2: Нахождение первой производной \( S'(a) \).
\( S'(a) = (20a - \frac{1}{2}a^2)' = 20 - a \).
Шаг 3: Нахождение критической точки.
Приравниваем производную к нулю: \( S'(a) = 0 \).
\( 20 - a = 0 \implies a = 20 \).
Проверка: \( a=20 \) находится в области определения \( 0 < a < 40 \).
Шаг 4: Проверка, что это максимум.
Вторая производная: \( S''(a) = (20 - a)' = -1 \).
Так как \( S''(20) = -1 < 0 \), в точке \( a=20 \) функция \( S(a) \) имеет максимум.
Шаг 5: Определение длин катетов.
Катет \( a = 20 \).
Катет \( b = 40 - a = 40 - 20 = 20 \).
Ответ: Катеты должны иметь длину по 20.