ГДЗ: Упражнение 962 - Параграф Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

962 упражнение:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

1) \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) на отрезке \( [-2; 2] \)

Ответ

Шаг 1: Нахождение критических точек.

Производная: \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \).

Приравниваем к нулю: \( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \).

По теореме Виета или через дискриминант: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \).

Критическая точка \( x=1 \) принадлежит отрезку \( [-2; 2] \). Точка \( x=3 \) не принадлежит.

Шаг 2: Вычисление значений функции.

В критической точке \( x=1 \): \( f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4 \).
На левом конце отрезка \( x=-2 \): \( f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 9(-2) = -8 - 24 - 18 = -50 \).
На правом конце отрезка \( x=2 \): \( f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) = 8 - 24 + 18 = 2 \).

Шаг 3: Сравнение значений.

Сравниваем: \( 4, -50, 2 \).

Наибольшее значение: \( 4 \). Наименьшее значение: \( -50 \).

Ответ: Наибольшее значение 4, наименьшее значение -50.

2) \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) на отрезке \( [0; 4] \)

Ответ

Шаг 1: Нахождение критических точек.

Производная: \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \). Критические точки: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \).

Обе критические точки \( x=1 \) и \( x=3 \) принадлежат отрезку \( [0; 4] \).

Шаг 2: Вычисление значений функции.

В критической точке \( x=1 \): \( f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4 \).
В критической точке \( x=3 \): \( f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 0 \).
На левом конце отрезка \( x=0 \): \( f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9(0) = 0 \).
На правом конце отрезка \( x=4 \): \( f(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 9(4) = 64 - 96 + 36 = 4 \).

Шаг 3: Сравнение значений.

Сравниваем: \( 4, 0, 0, 4 \).

Наибольшее значение: \( 4 \). Наименьшее значение: \( 0 \).

Ответ: Наибольшее значение 4, наименьшее значение 0.

3) \( f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 \) на отрезке \( [-4; 3] \)

Ответ

Шаг 1: Нахождение критических точек.

Производная: \( f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1) \).

Критические точки: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 1 \), \( x_3 = -1 \).

Все критические точки лежат на отрезке \( [-4; 3] \).

Шаг 2: Вычисление значений функции.

В критической точке \( x=-1 \): \( f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \).
В критической точке \( x=0 \): \( f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3 \).
В критической точке \( x=1 \): \( f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \).
На левом конце отрезка \( x=-4 \): \( f(-4) = (-4)^4 - 2(-4)^2 + 3 = 256 - 32 + 3 = 227 \).
На правом конце отрезка \( x=3 \): \( f(3) = 3^4 - 2(3)^2 + 3 = 81 - 18 + 3 = 66 \).

Шаг 3: Сравнение значений.

Сравниваем: \( 2, 3, 227, 66 \).

Наибольшее значение: \( 227 \). Наименьшее значение: \( 2 \).

Ответ: Наибольшее значение 227, наименьшее значение 2.

4) \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 5 \) на отрезке \( [-3; 2] \)

Ответ

Шаг 1: Нахождение критических точек.

Производная: \( f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x - 2)(x + 2) \).

Критические точки: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \), \( x_3 = -2 \).

Все критические точки лежат на отрезке \( [-3; 2] \).

Шаг 2: Вычисление значений функции.

В критической точке \( x=-2 \): \( f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \).
В критической точке \( x=0 \): \( f(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 5 = 5 \).
В критической точке \( x=2 \): \( f(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \).
На левом конце отрезка \( x=-3 \): \( f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 81 - 72 + 5 = 14 \).

Шаг 3: Сравнение значений.

Сравниваем: \( -11, 5, -11, 14 \).

Наибольшее значение: \( 14 \). Наименьшее значение: \( -11 \).

Ответ: Наибольшее значение 14, наименьшее значение -11.

Что применять при решении

Интервалы возрастания и убывания

Интервалы возрастания функции \( f(x) \) находятся там, где её первая производная \( f'(x) > 0 \). Интервалы убывания — где \( f'(x) < 0 \).

Возрастание: \( f'(x) > 0 \); Убывание: \( f'(x) < 0 \)

Точки экстремума

Точки экстремума — это критические точки, в которых производная меняет знак. Если знак меняется с '+' на '-', то это максимум; если с '-' на '+', то это минимум.

Критические точки: \( f'(x) = 0 \text{ или } f'(x) \text{ не существует} \)

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Для функции \( f(x) \) на отрезке \( [a; b] \) наибольшее/наименьшее значение достигается либо в критических точках внутри отрезка, либо на его концах \( f(a) \) и \( f(b) \).

\( \max / \min f(x) \in \{ f(x_c), f(a), f(b) \}, \text{ где } x_c \text{ - критическая точка} \)

Точки перегиба

Точки, в которых вторая производная \( f''(x) \) равна нулю или не существует, и при этом \( f''(x) \) меняет знак.

\( f''(x) = 0 \text{ или } f''(x) \text{ не существует и меняет знак} \)

Производная степенной функции

Правило дифференцирования степенной функции.

\( (x^n)' = n x^{n-1} \)

Производная сложной функции (цепное правило)

Производная сложной функции \( f(g(x)) \).

\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

Другие упражнения из параграфа Глава 9

956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 9
Параграф: Глава 9 — Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.