ГДЗ: Упражнение 968 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение области определения.

Функция определена при \( x > 0 \). \( D(y) = (0; +\infty) \).

Шаг 2: Нахождение первой производной (правило произведения).

\( y' = (x \ln x)' = (x)' \ln x + x (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 \).

Шаг 3: Нахождение критических точек.

Приравниваем производную к нулю: \( \ln x + 1 = 0 \).

\( \ln x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e} \).

Критическая точка: \( x = 1/e \).

Шаг 4: Исследование знака производной.

Исследуем знак \( y' = \ln x + 1 \) на интервалах \( (0; 1/e) \) и \( (1/e; +\infty) \).

• Если \( 0 < x < 1/e \): \( \ln x < \ln(1/e) = -1 \). Значит, \( y' < 0 \). (Убывание).
• Если \( x > 1/e \): \( \ln x > \ln(1/e) = -1 \). Значит, \( y' > 0 \). (Возрастание).

Шаг 5: Определение точек экстремума.

При переходе через \( x = 1/e \) производная меняет знак с \(-\) на \(+\). Значит, \( x = 1/e \) — точка минимума.

Значение в минимуме: \( y_{min} = y(1/e) = \frac{1}{e} \ln(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e} \).

Ответ: Точка минимума \( x = 1/e \).

Шаг 1: Нахождение области определения.

Область определения \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

Шаг 2: Нахождение первой производной (правило произведения и сложной функции).

\( y' = (x e^{x^2})' = (x)' e^{x^2} + x (e^{x^2})' \)

\( y' = 1 \cdot e^{x^2} + x \cdot e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} + x \cdot e^{x^2} \cdot 2x = e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2} \).

Вынесем общий множитель \( e^{x^2} \): \( y' = e^{x^2} (1 + 2x^2) \).

Шаг 3: Нахождение критических точек.

Приравниваем производную к нулю: \( e^{x^2} (1 + 2x^2) = 0 \).

Так как \( e^{x^2} > 0 \) и \( 1 + 2x^2 \geq 1 > 0 \) для всех \( x \), то \( y' > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \).

Критических точек нет. Функция постоянно возрастает.

Ответ: Точек экстремума нет.

Шаг 1: Нахождение области определения.

Функция определена при \( 7-x \neq 0 \implies x \neq 7 \) и \( 3-x \neq 0 \implies x \neq 3 \).

Шаг 2: Нахождение первой производной.

Перепишем: \( y = 25(7-x)^{-1} - 9(3-x)^{-1} \).

\( y' = 25(-1)(7-x)^{-2}(-1) - 9(-1)(3-x)^{-2}(-1) = \frac{25}{(7-x)^2} - \frac{9}{(3-x)^2} \).

Шаг 3: Нахождение критических точек.

Приравниваем производную к нулю: \( \frac{25}{(7-x)^2} - \frac{9}{(3-x)^2} = 0 \).

\( \frac{25}{(7-x)^2} = \frac{9}{(3-x)^2} \).

Берем квадратный корень: \( \frac{5}{|7-x|} = \frac{3}{|3-x|} \).

Рассматриваем два случая (поскольку \( x \neq 3 \) и \( x \neq 7 \)):

Случай А: Знаки выражений одинаковы. \( 5(3-x) = 3(7-x) \).

\( 15 - 5x = 21 - 3x \implies 2x = -6 \implies x = -3 \).

Случай Б: Знаки выражений противоположны. \( 5(3-x) = -3(7-x) \).

\( 15 - 5x = -21 + 3x \implies 8x = 36 \implies x = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4,5 \).

Критические точки: \( x_1 = -3 \), \( x_2 = 4,5 \).

Шаг 4: Исследование знака производной.

Исследуем знак \( y' \) на интервалах \( (-\infty; -3) \), \( (-3; 3) \), \( (3; 4,5) \), \( (4,5; 7) \), \( (7; +\infty) \).

Например, в виде \( y' = \frac{25(3-x)^2 - 9(7-x)^2}{(7-x)^2 (3-x)^2} \). Знак числителя определяется выражением: \( (5(3-x) - 3(7-x))(5(3-x) + 3(7-x)) \).

Первая скобка: \( 15 - 5x - 21 + 3x = -6 - 2x = -2(x + 3) \).

Вторая скобка: \( 15 - 5x + 21 - 3x = 36 - 8x = -8(x - 4.5) \).

Числитель: \( 16(x + 3)(x - 4,5) \). Знаки: \( + \) при \( x < -3 \), \( - \) при \( -3 < x < 4.5 \), \( + \) при \( x > 4.5 \). (Учитывая, что в знаменателе квадрат, знаки числителя и \( y' \) совпадают).

При переходе через \( x = -3 \): знак меняется с \(+\) на \(-\). \( x = -3 \) — точка максимума.

При переходе через \( x = 4,5 \): знак меняется с \(-\) на \(+\). \( x = 4,5 \) — точка минимума.

Ответ: Точка максимума \( x = -3 \). Точка минимума \( x = 4,5 \).