ГДЗ: Упражнение 971 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение критических точек.

Производная: \( f'(x) = (2 \sin x + \sin 2x)' = 2 \cos x + 2 \cos 2x \).

Приравниваем к нулю: \( 2 \cos x + 2 \cos 2x = 0 \implies \cos x + \cos 2x = 0 \).

Используем формулу \( \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \):

\( \cos x + (2 \cos^2 x - 1) = 0 \implies 2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0 \).

Замена \( t = \cos x \), где \( t \in [-1; 1] \): \( 2t^2 + t - 1 = 0 \).

Корни: \( t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} \).

\( t_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) и \( t_2 = \frac{-4}{4} = -1 \).

Возвращаемся к \( x \):

• \( \cos x = 1/2 \). Решения на отрезке \( [0; 3\pi/2] \): \( x = \pi/3 \).
• \( \cos x = -1 \). Решения на отрезке \( [0; 3\pi/2] \): \( x = \pi \).

Критические точки на отрезке: \( x = \pi/3 \) и \( x = \pi \).

Шаг 2: Вычисление значений функции.

• В критической точке \( x=\pi/3 \): \( f(\pi/3) = 2 \sin(\pi/3) + \sin(2\pi/3) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.6 \).
• В критической точке \( x=\pi \): \( f(\pi) = 2 \sin(\pi) + \sin(2\pi) = 2(0) + 0 = 0 \).
• На левом конце отрезка \( x=0 \): \( f(0) = 2 \sin(0) + \sin(0) = 0 \).
• На правом конце отрезка \( x=3\pi/2 \): \( f(3\pi/2) = 2 \sin(3\pi/2) + \sin(3\pi) = 2(-1) + 0 = -2 \).

Шаг 3: Сравнение значений.

Сравниваем: \( 3\sqrt{3}/2, 0, 0, -2 \).

Наибольшее значение: \( 3\sqrt{3}/2 \). Наименьшее значение: \( -2 \).

Ответ: Наибольшее значение \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \). Наименьшее значение \( -2 \).

Шаг 1: Нахождение критических точек.

Производная: \( f'(x) = (2 \cos x + \sin 2x)' = -2 \sin x + 2 \cos 2x \).

Приравниваем к нулю: \( -2 \sin x + 2 \cos 2x = 0 \implies \cos 2x = \sin x \).

Используем формулу \( \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \):

\( 1 - 2 \sin^2 x = \sin x \implies 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \).

Замена \( t = \sin x \), где \( t \in [0; 1] \) для \( x \in [0; \pi] \). \( 2t^2 + t - 1 = 0 \).

Корни: \( t_1 = 1/2 \) и \( t_2 = -1 \). На отрезке \( [0; \pi] \) подходит только \( t = 1/2 \).

Возвращаемся к \( x \): \( \sin x = 1/2 \). Решения на отрезке \( [0; \pi] \): \( x = \pi/6 \) и \( x = 5\pi/6 \).

Критические точки на отрезке: \( x = \pi/6 \) и \( x = 5\pi/6 \).

Шаг 2: Вычисление значений функции.

• В критической точке \( x=\pi/6 \): \( f(\pi/6) = 2 \cos(\pi/6) + \sin(\pi/3) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.6 \).
• В критической точке \( x=5\pi/6 \): \( f(5\pi/6) = 2 \cos(5\pi/6) + \sin(5\pi/3) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx -2.6 \).
• На левом конце отрезка \( x=0 \): \( f(0) = 2 \cos(0) + \sin(0) = 2(1) + 0 = 2 \).
• На правом конце отрезка \( x=\pi \): \( f(\pi) = 2 \cos(\pi) + \sin(2\pi) = 2(-1) + 0 = -2 \).

Шаг 3: Сравнение значений.

Сравниваем: \( 3\sqrt{3}/2, -3\sqrt{3}/2, 2, -2 \).

Наибольшее значение: \( 3\sqrt{3}/2 \). Наименьшее значение: \( -3\sqrt{3}/2 \).

Ответ: Наибольшее значение \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \). Наименьшее значение \( -\frac{3\sqrt{3}}{2} \).